Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x. দৃশ্যকল্প-২: △PQR\triangle \mathrm{PQR} এ cos⁡P=sin⁡Q−cos⁡R\cos \mathrm{P}=\sin \mathrm{Q}-\cos \mathrm{R}.

মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡44∘+cos⁡44∘=\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ} =sin⁡(90∘−46∘)+cos⁡44∘=cos⁡46∘+cos⁡44∘=2cos⁡46∘+44∘2cos⁡46∘−44∘2=2cos⁡45∘cos⁡1∘=212⋅cos⁡1∘\begin{aligned} & =\sin \left(90^{\circ}-46^{\circ}\right)+\cos 44^{\circ}=\cos 46^{\circ}+\cos 44^{\circ} \\ & =2 \cos \frac{46^{\circ}+44^{\circ}}{2} \cos \frac{46^{\circ}-44^{\circ}}{2} \\ & =2 \cos 45^{\circ} \cos 1^{\circ} \\ & =2 \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos 1^{\circ}\end{aligned} =2cos⁡1∘==\sqrt{2} \cos 1^{\circ}= ডানপক্ষ ∴sin⁡44∘+cos⁡44∘=2cos⁡1∘\therefore \quad \sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x বামপক্ষ =16f(2π15)f(4π15)f(8π15)f(14π15)16 f\left(\frac{2 \pi}{15}\right) f\left(\frac{4 \pi}{15}\right) f\left(\frac{8 \pi}{15}\right) f\left(\frac{14 \pi}{15}\right) =16cos⁡2π15⋅cos⁡4π15⋅cos⁡8π15⋅cos⁡14π15=16 \cos \frac{2 \pi}{15} \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{14 \pi}{15} =8(2sin⁡2π15cos⁡2π15)⋅cos⁡4π15⋅cos⁡8π15⋅cos⁡14π15sin⁡2π15=\frac{8\left(2 \sin \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15}\right) \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{14 \pi}{15}}{\sin \frac{2 \pi}{15}} =4⋅(2sin⁡4π15cos⁡4π15)⋅cos⁡8π15⋅cos⁡14π15sin⁡2π15=\frac{4 \cdot\left(2 \sin \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15}\right) \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{14 \pi}{15}}{\sin \frac{2 \pi}{15}} =2⋅(2sin⁡8π15cos⁡8π15)⋅cos⁡14π15sin⁡2π15=\frac{2 \cdot\left(2 \sin \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15}\right) \cdot \cos \frac{14 \pi}{15}}{\sin \frac{2 \pi}{15}} =2sin⁡16π15cos⁡14π152sin⁡π15cos⁡π15=sin⁡(π+π15)⋅cos⁡(π−π15)sin⁡π15cos⁡π15=\frac{2 \sin \frac{16 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}}{2 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15}}=\frac{\sin \left(\pi+\frac{\pi}{15}\right) \cdot \cos \left(\pi-\frac{\pi}{15}\right)}{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15}} =(−sin⁡π15)⋅(−cos⁡π15)sin⁡π15cos⁡π15=sin⁡π15cos⁡π15sin⁡π15cos⁡π15=1==\frac{\left(-\sin \frac{\pi}{15}\right) \cdot\left(-\cos \frac{\pi}{15}\right)}{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15}}=\frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15}}{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15}}=1= (প্রমাণিত)

উত্তর

এখানে, △PQR\triangle P Q R-এ P+Q+R=πP+Q+R=\pi এখন, cos⁡P=sin⁡Q−cos⁡R\cos P=\sin Q-\cos R হলে, cos⁡P+cos⁡R=sin⁡Q\cos P+\cos R=\sin Q বা, 2cos⁡P+R2⋅cos⁡P−R2=sin⁡Q2 \cos \frac{P+R}{2} \cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q বা, 2cos⁡π−Q2⋅cos⁡P−R2=sin⁡Q[∵P+Q+R=π]2 \cos \frac{\pi-Q}{2} \cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q \quad[\because P+Q+R=\pi] বা, 2cos⁡(π2−Q2)⋅cos⁡P−R2=sin⁡(2⋅Q2)2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{Q}{2}\right) \cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin \left(2 \cdot \frac{Q}{2}\right) বা, 2sin⁡Q2⋅cos⁡P−R2=2sin⁡Q2⋅cos⁡Q22 \sin \frac{Q}{2} \cdot \cos \frac{P-R}{2}=2 \sin \frac{Q}{2} \cdot \cos \frac{Q}{2} বা, cos⁡P−R2=cos⁡Q2\cos \frac{P-R}{2}=\cos \frac{Q}{2} বা, P−R2=Q2\frac{P-R}{2}=\frac{Q}{2} বা, P−R=QP-R=Q বা, P=Q+RP=Q+R বা, P=π−P[∵P+Q+R=π]P=\pi-P \quad[\because P+Q+R=\pi] বা, P+P=π\mathrm{P}+\mathrm{P}=\pi বা, 2P=π2 P=\pi ∴P=π2\therefore \quad \mathrm{P}=\frac{\pi}{2} যেহেতু PQRPQR ত্রিভুজের PP কোণ সমকোণ। সুতরাং, PQRPQR ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতমাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন