Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দেখাও যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : sin⁡θ+sin⁡φ=a\sin \theta+\sin \varphi=a এবং cos⁡θ+cos⁡φ=b\cos \theta+\cos \varphi=b. দৃশ্যকল্প-২ : 2cos⁡A=cos⁡B+cos⁡3B\sqrt{2} \cos A=\cos B+\cos^3 B এবং 2sin⁡ A=sin⁡B−sin⁡3 B\sqrt{2} \sin \mathrm{~A}=\sin \mathrm{B}-\sin^3 \mathrm{~B}.

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡2A=2sin⁡A⋅cos⁡A=2sin⁡Acos⁡A⋅cos⁡2A=\sin 2 A=2 \sin A \cdot \cos A=2 \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \cos^2 A =2tan⁡A⋅1sec⁡2A=2tan⁡A⋅11+tan⁡2A=2 \tan A \cdot \frac{1}{\sec^2 A}=2 \tan A \cdot \frac{1}{1+\tan^2 A} =2tan⁡A1+tan⁡2A==\frac{2 \tan A}{1+\tan^2 A}= ডানপক্ষ ∴sin⁡2A=2tan⁡A1+tan⁡2A⋅\therefore \quad \sin 2 A =\frac{2 \tan A}{1+\tan^2 A} \cdot (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡θ+sin⁡φ=a\sin \theta+\sin \varphi=a ∴2sin⁡θ+φ2cos⁡θ−φ2=a\therefore \quad 2 \sin \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2}=a …..(i)\ldots.. (i) আবার, cos⁡θ+cos⁡φ=b\cos \theta+\cos \varphi=b ∴2cos⁡θ+φ2cos⁡θ−φ2=b\therefore \quad 2 \cos \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2}=b
…..(ii)(i)\ldots.. (ii) (i)
ও (ii) নং বর্গ করেরে যোগ করি, 4cos⁡2θ−φ2{sin⁡2θ+φ2+cos⁡2θ+φ2}=a2+b24 \cos^2 \frac{\theta-\varphi}{2}\left\{\sin^2 \frac{\theta+\varphi}{2}+\cos^2 \frac{\theta+\varphi}{2}\right\}=a^2+b^2 বা, 4cos⁡2θ−φ2=a2+b24 \cos^2 \frac{\theta-\varphi}{2}=\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2 বা, cos⁡2θ−φ2=a2+b24\cos^2 \frac{\theta-\varphi}{2}=\frac{a^2+b^2}{4} বা, sec⁡2θ−φ2=4a2+b2\sec^2 \frac{\theta-\varphi}{2}=\frac{4}{a^2+b^2} বা, 1+tan⁡2θ−φ2=4a2+b21+\tan^2 \frac{\theta-\varphi}{2}=\frac{4}{a^2+b^2} বা, tan⁡2θ−φ2=4a2+b2−1=4−a2−b2a2+b2\tan^2 \frac{\theta-\varphi}{2}=\frac{4}{a^2+b^2}-1=\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2} ∴tan⁡θ−φ2=±4−a2−b2a2+b2\therefore \quad \tan \frac{\theta-\varphi}{2}= \pm \sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}} নির্ণেয় মান :tan⁡12(θ−φ)=±4−a2−b2a2+b2: \tan \frac{1}{2}(\theta-\varphi)= \pm \sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}.

উত্তর

[বি: দ্র: P ও Q এর পরিবর্তে যথাক্রমে A ও B হবে] দৃশ্যকল্প-২ হতে, cos⁡P(1+cos⁡2P)=2cos⁡Q\cos P\left(1+\cos^2 P\right)=\sqrt{2} \cos Q বা, cos⁡P+cos⁡3P=2cos⁡Q\cos P+\cos^3 P=\sqrt{2} \cos Q …...(i)\ldots... (i) এবং sin⁡P(1−sin⁡2P)=2sin⁡Q\sin P\left(1-\sin^2 P\right)=\sqrt{2} \sin Q বা, sin⁡P−sin⁡3P=2sin⁡Q\quad \sin P-\sin^3 P=\sqrt{2} \sin Q.
…...(ii)(i)\ldots... (ii) (i)
নং ও (ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে বর্গ করে যোগ করি, (cos⁡P+cos⁡3P)2+(sin⁡P−sin⁡3P)2=2cos⁡2Q+2sin⁡2Q\left(\cos \mathrm{P}+\cos^3 \mathrm{P}\right)^2+\left(\sin \mathrm{P}-\sin^3 \mathrm{P}\right)^2=2 \cos^2 \mathrm{Q}+2 \sin^2 \mathrm{Q} বা, cos⁡2P+2cos⁡4P+cos⁡6P+sin⁡2P−2sin⁡4P+sin⁡6P=2(cos⁡2Q+sin⁡2Q)\cos^2 P+2 \cos^4 P+\cos^6 P+\sin^2 P-2 \sin^4 P+\sin^6 P=2\left(\cos^2 Q+\sin^2 Q\right) বা, (cos⁡2P+sin⁡2P)+2(cos⁡4P−sin⁡4P)+(cos⁡2P)3+(sin⁡2P)3=2\left(\cos^2 \mathrm{P}+\sin^2 \mathrm{P}\right)+2\left(\cos^4 \mathrm{P}-\sin^4 \mathrm{P}\right)+\left(\cos^2 \mathrm{P}\right)^3+\left(\sin^2 \mathrm{P}\right)^3=2 বা, 1+2(cos⁡2P−sin⁡2P)(cos⁡2P+sin⁡2P)+(cos⁡2P+sin⁡2P)1+2\left(\cos^2 \mathrm{P}-\sin^2 \mathrm{P}\right)\left(\cos^2 \mathrm{P}+\sin^2 \mathrm{P}\right)+\left(\cos^2 \mathrm{P}+\sin^2 \mathrm{P}\right) (cos⁡4P−cos⁡2P⋅sin⁡2P+sin⁡4P)=2\left(\cos^4 P-\cos^2 P \cdot \sin^2 P+\sin^4 P\right)=2 বা, 2(cos⁡2P−sin⁡2P)+1⋅{(cos⁡2P)2+(sin⁡2P)2−cos⁡2P⋅sin⁡2P}=12\left(\cos^2 P-\sin^2 P\right)+1 \cdot\left\{\left(\cos^2 P\right)^2+\left(\sin^2 P\right)^2-\cos^2 P \cdot \sin^2 P\right\}=1 বা, 2(1−2sin⁡2P)+(cos⁡2P+sin⁡2P)2−2cos⁡2P⋅sin⁡2P−cos⁡2P⋅sin⁡2P=12\left(1-2 \sin^2 \mathrm{P}\right)+\left(\cos^2 \mathrm{P}+\sin^2 \mathrm{P}\right)^2-2 \cos^2 \mathrm{P} \cdot \sin^2 \mathrm{P}-\cos^2 \mathrm{P} \cdot \sin^2 \mathrm{P}=1 বা, 2−4sin⁡2P+1−3sin⁡2P⋅cos⁡2P=12-4 \sin^2 P+1-3 \sin^2 P \cdot \cos^2 P=1 বা, 2−4sin⁡2P−3sin⁡2P(1−sin⁡2P)=02-4 \sin^2 P-3 \sin^2 P\left(1-\sin^2 P\right)=0 বা, 2−4sin⁡2P−3sin⁡2P+3sin⁡4P=02-4 \sin^2 P-3 \sin^2 P+3 \sin^4 P=0 বা, 3sin⁡4P−7sin⁡2P+2=03 \sin^4 P-7 \sin^2 P+2=0 বা, 3sin⁡4P−6sin⁡2P−sin⁡2P+2=03 \sin^4 P-6 \sin^2 P-\sin^2 P+2=0 বা, 3sin⁡2P(sin⁡2P−2)−1(sin⁡2P−2)=03 \sin^2 P\left(\sin^2 P-2\right)-1\left(\sin^2 P-2\right)=0 বা, (sin⁡2P−2)(3sin⁡2P−1)=0\left(\sin^2 \mathrm{P}-2\right)\left(3 \sin^2 \mathrm{P}-1\right)=0 হয়, sin⁡2P−2=0\sin^2 \mathrm{P}-2=0 sin⁡2P=2\sin^2 \mathrm{P}=2 ইহ গ্রহণয়াগ্য নয়। অথবা, 3sin⁡2P−1=03 \sin^2 \mathrm{P}-1=0 sin⁡2P=13\sin^2 P=\frac{1}{3} ∴cos⁡2P=1−sin⁡2P=1−13=23\therefore \cos^2 P=1-\sin^2 P=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} বামপক্ষ =sin⁡(P−Q)=sin⁡P⋅cos⁡Q−cos⁡P⋅sin⁡Q=\sin (P-Q)=\sin P \cdot \cos Q-\cos P \cdot \sin Q =sin⁡{12(cos⁡P+cos⁡3P)}−cos⁡P⋅{12(sin⁡P−sin⁡3P)}=\sin \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos P+\cos^3 P\right)\right\}-\cos P \cdot\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin P-\sin^3 P\right)\right\} =12(sin⁡P⋅cos⁡P+sin⁡P⋅cos⁡3P−sin⁡P⋅cos⁡P+sin⁡3P⋅cos⁡P)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}+\sin \mathrm{P} \cdot \cos^3 \mathrm{P}-\sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}+\sin^3 \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}\right) =12sin⁡P⋅cos⁡P(cos⁡2P+sin⁡2P)=12⋅sin⁡P⋅cos⁡P=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin P \cdot \cos P\left(\cos^2 P+\sin^2 P\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin P \cdot \cos P =12⋅(±13)⋅(±23)[∵sin⁡2P=13,cos⁡2P=23]=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\left[\because \sin^2 P=\frac{1}{3}, \cos^2 P=\frac{2}{3}\right] =±13== \pm \frac{1}{3}= ডানপক্ষ ∴sin⁡(P−Q)=±13\therefore \quad \sin (\mathrm{P}-\mathrm{Q})= \pm \frac{1}{3}. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতসরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন