Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] সমবাহু ত্রিভুজ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] দেওয়া আছে, [গণিত] . [গণিত] দুই বা ততোধিক রাশির বর্গের যোগফল শূণ্য হলে এদের প্রত্যেকের মান শূণ্য। [গণিত] (ii) এবং [গণিত] . [গণিত] (iii) (ii) ও (iii) হতে, [গণিত] সমবাহু ত্রিভূজ। (proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে, সমবাহু ত্রিভুজ।

উদ্দীপক

question image

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

△ABCΘ\triangle \mathrm{ABC} \Theta, A+B+C=πA+B+C=\pi দেওয়া আছে, cos⁡A=cos⁡Bcos⁡C\cos \mathrm{A}=\cos \mathrm{B} \cos C ⇒cos⁡Asin⁡Bsin⁡C=cos⁡Bcos⁡Csin⁡Bsin⁡C\Rightarrow \frac{\cos\mathrm{A}}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C} ⇒cos⁡{π−(B+C)}sin⁡Bsin⁡C=cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow \frac{\cos\{\pi-(B+C)\}}{\sin B\sin C}=\cot B\cdot\cot C ⇒−cos⁡(B+C)sin⁡Bsin⁡C=2cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow \frac{-\cos (B+C)}{\sin B\sin C}=2\cot B\cdot\cot C ⇒−(cos⁡Bcos⁡C−sin⁡Bsin⁡C)sin⁡Bsin⁡C=cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow \frac{-(\cos B \cos C-\sin B \sin C)}{\sin B \sin C}=\cot B \cdot \cot C ⇒−cos⁡Bcos⁡Csin⁡Bsin⁡C+sin⁡Bsin⁡Csin⁡Bsin⁡C=cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow \frac{-\cos B \cos C}{\sin B \sin C}+\frac{\sin B \sin C}{\sin B \sin C}=\cot B \cdot \cot C ⇒−cot⁡B⋅cot⁡C+1=cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow -\cot B \cdot \cot C+1=\cot B \cdot \cot C ⇒1=cot⁡B⋅cot⁡C+cot⁡B⋅cot⁡C\Rightarrow 1=\cot B \cdot \cot C+\cot B \cdot \cot C ∴2cot⁡B⋅cot⁡C=1\therefore 2 \cot B \cdot \cot C=1

উত্তর

দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} ∠A+∠B+∠C=π\angle A+\angle B+\angle C=\pi ∴A+B+C=π\therefore A+B+C=\pi ∴A+B=π−C\therefore A+B=\pi-C ∴cot⁡(A+B)=cot⁡(π−C)\therefore \cot (A+B)=\cot (\pi-C) =cot⁡A⋅cot⁡B−1cot⁡Acot⁡B=−cot⁡C= \frac{\cot A \cdot \cot B-1}{\cot A \cot B}=-\cot C =cot⁡A⋅cot⁡B−1=−cot⁡A⋅cot⁡C−cot⁡B⋅cot⁡C= \cot A \cdot \cot B-1=-\cot A \cdot \cot C-\cot B \cdot \cot C ∴cot⁡⋅Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡A⋅cot⁡C=1……(i)\therefore \cot \cdot A \cot B+\cot B \cot C+\cot A \cdot \cot C=1 \ldots \ldots(i) দেওয়া আছে, cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C=3\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{3} ⇒(cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2=(3)2\Rightarrow (\cot A+\cot B+\cot C)^{2}=(\sqrt{3})^{2} ⇒cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C+2cot⁡A⋅cot⁡B+2cot⁡B⋅cot⁡C+2cot⁡C\Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{C}+2 \cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B}+2 \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}+2 \cot \mathrm{C}. cot⁡A=3\cot A=3 ⇒cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C+2(cot⁡A⋅cot⁡B+cot⁡B⋅cot⁡C+cot⁡C⋅cot⁡⇒cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C+2−3=0\Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{C}+2(\cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B}+\cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}+\cot \mathrm{C} \cdot \cot \Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{C}+2-3=0 ⇒cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C−1=0\Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{C}-1=0 ⇒cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C−cot⁡A⋅cot⁡B−cot⁡B⋅cot⁡C−cot⁡C⋅cot⁡A\Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{C}-\cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}-\cot \mathrm{C} \cdot \cot \mathrm{A} ⇒2cot⁡2 A+2cot⁡2 B+2cot⁡2C−2cot⁡A⋅cot⁡B−2cot⁡B⋅cot⁡C−\Rightarrow 2 \cot^{2} \mathrm{~A}+2 \cot^{2} \mathrm{~B}+2 \cot^{2} \mathrm{C}-2 \cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B}-2 \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}- ⇒cot⁡2 A−2cot⁡A⋅cot⁡B+cot⁡2 B+cot⁡2 B−2cot⁡B⋅cot⁡C+cot⁡2C\Rightarrow \cot^{2} \mathrm{~A}-2 \cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B}+\cot^{2} \mathrm{~B}+\cot^{2} \mathrm{~B}-2 \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}+\cot^{2} \mathrm{C} ⇒(cot⁡A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2=0\Rightarrow (\cot A-\cot B)^{2}+(\cot B-\cot C)^{2}+(\cot C-\cot A)^{2}=0 দুই বা ততোধিক রাশির বর্গের যোগফল শূণ্য হলে এদের প্রত্যেকের মান শূণ্য। (cot⁡A−cot⁡B)2=0(\cot A-\cot B)^{2}=0 ⇒cot⁡A−cot⁡B=0\Rightarrow \cot \mathrm{A}-\cot \mathrm{B}=0 ⇒cot⁡A=cot⁡B\Rightarrow \cot \mathrm{A}=\cot \mathrm{B} ∴A=B\therefore \mathrm{A}=\mathrm{B} ……(ii)\ldots\ldots (ii) এবং (cot⁡B−cot⁡C)2=0(\cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{C})^{2}=0 ⇒cot⁡B−cot⁡C=0\Rightarrow \cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{C}=0 ⇒cot⁡B=cot⁡C\Rightarrow \cot \mathrm{B}=\cot \mathrm{C} ∴B=C\therefore \mathrm{B}=\mathrm{C}.
……(iii)(ii)\ldots\ldots (iii) (ii)
ও (iii) হতে, A=B=CA=B=C ∴△ABC\therefore \triangle \mathrm{ABC} সমবাহু ত্রিভূজ। (proved)

উত্তর

দেওয়া আছে, b4+c4+a4=2a2(b2+c2)b^{4}+c^{4}+a^{4}=2 a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right) ⇒a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2=0\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}-2 a^{2} b^{2}-2 a^{2} c^{2}=0 ⇒a4+b4+c4−2a2b2+2b2c2−2a2c2=2b2c2\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}-2 a^{2} b^{2}+2 b^{2} c^{2}-2 a^{2} c^{2}=2 b^{2} c^{2} ⇒(−a2)2+(b2)2+(c2)2+2⋅(−a2)⋅b2+2⋅b2⋅c2+2⋅c2⋅(−a2)=2b2c2\Rightarrow \left(-a^{2}\right)^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}+\left(c^{2}\right)^{2}+2 \cdot\left(-a^{2}\right) \cdot b^{2}+2\cdot b^{2}\cdot c^{2}+2\cdot c^{2}\cdot\left(-a^{2}\right)=2 b^{2} c^{2} ⇒(−a2+b2+c2)=2b2c2\Rightarrow \left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=2 b^{2} c^{2} ⇒(c2+b2−a2)2=2b2c2\Rightarrow \left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)^{2}=2 b^{2} c^{2} ⇒c2+b2−a2=2bc\Rightarrow c^{2}+b^{2}-a^{2}=\sqrt{2} b c ⇒c2+b2−a2bc=±2⋅22\Rightarrow \frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{b c}= \pm 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ⇒c2+b2−a22bc=±12\Rightarrow \frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2 b c}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} ⇒cos⁡A=±12\Rightarrow \cos A= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (+) ve নিয়ে, cos⁡A=12\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}} =cos⁡A=cos⁡45∘= \cos A=\cos 45^{\circ} ∴A=45∘\therefore A=45^{\circ} (-) ve নিয়ে, cos⁡A=−12\cos \mathrm{A}=-\frac{1}{\sqrt{2}} ⇒cos⁡A=cos⁡(180∘−45∘)\Rightarrow \cos \mathrm{A}=\cos \left(180^{\circ}-45^{\circ}\right) ∴A=135∘\therefore \mathrm{A}=135^{\circ} (proved)}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতরাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন