Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ (দেখান হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দেখাও যে, [গণিত]

উদ্দীপক

φ=cos⁡X\varphi=\cos \mathrm{X}.

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡π16=\sin \frac{\pi}{16} =12×2sin⁡π16=\frac{1}{2} \times 2 \sin \frac{\pi}{16} =124sin⁡2π16=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin^{2} \frac{\pi}{16}} =122.2sin⁡2π16=\frac{1}{2} \sqrt{2.2 \sin^{2} \frac{\pi}{16}} =122(1−cos⁡π8)=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)} =122−2cos⁡π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-2 \cos \frac{\pi}{8}} =122−4cos⁡2π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{4 \cos^{2} \frac{\pi}{8}}} =122−2.2cos⁡2π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2.2 \cos^{2} \frac{\pi}{8}}} =122−2(1+cos⁡π4)=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)}} =122−2+2cos⁡π4=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+2 \cos \frac{\pi}{4}}} =122−2+2×12=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}} =122−2+2=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = ডানপক্ষ (দেখান হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(x)=cos⁡x\varphi(x)=\cos x ∴φ(2x)=cos⁡2x\therefore \varphi(2 x)=\cos 2 x φ(4x)=cos⁡4x\varphi(4 x)=\cos 4 x φ(8x)=cos⁡8x\varphi(8 x)=\cos 8 x φ(14x)=cos⁡14x\varphi(14 x)=\cos 14 x এবং x=π15\mathrm{x}=\frac{\pi}{15} ∴φ(2x)⋅φ(4x)⋅φ(8x)⋅φ(14x)\therefore \varphi(2 \mathrm{x}) \cdot \varphi(4 \mathrm{x}) \cdot \varphi(8 \mathrm{x}) \cdot \varphi(14 \mathrm{x}) =cos⁡2π15⋅cos⁡4π15⋅cos⁡8π15⋅cos⁡14π15=\cos \frac{2 \pi}{15} \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{14 \pi}{15} =cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta [ধরি, 2π15=θ]\left.\frac{2 \pi}{15}=\theta\right] =12sin⁡θ⋅2sin⁡θ⋅cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{2 \sin \theta} \cdot 2 \sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =12sin⁡θ⋅sin⁡2θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{2 \sin \theta} \cdot \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =14sin⁡θ⋅2sin⁡2θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{4 \sin \theta} \cdot 2 \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =14sin⁡θ⋅sin⁡4θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{4 \sin \theta} \cdot \sin 4 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =18sin⁡θ⋅sin⁡8θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{8 \sin \theta} \cdot \sin 8 \theta \cdot \cos 7 \theta =116sin⁡θ⋅2sin⁡8θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot 2 \sin 8 \theta \cdot \cos 7 \theta =116sin⁡θ⋅(sin⁡15θ+sin⁡θ)=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(\sin 15 \theta+\sin \theta) =116sin⁡θ⋅(sin⁡2π+sin⁡θ)[2π=15θ]=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(\sin 2 \pi+\sin \theta)[2 \pi=15 \theta] =116sin⁡θ⋅(0+sin⁡θ)=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(0+\sin \theta) =sin⁡θ16sin⁡θ=\frac{\sin \theta}{16 \sin \theta} =116=\frac{1}{16} (Ans)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x g(y)=cos⁡yg(y)=\cos y φ(π2−x)=sin⁡x\varphi\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x φ(π2−y)=sin⁡y\varphi\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=\sin y ∴pφ(x)+qφ(y)=r=pφ(π2−x)+qφ(π2−y)\therefore \mathrm{p} \varphi(\mathrm{x})+\mathrm{q} \varphi(\mathrm{y})=\mathrm{r}=\mathrm{p} \varphi\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)+\mathrm{q} \varphi\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{y}\right) বা, pcos⁡x+qcos⁡y=r=psin⁡x+qsin⁡yp \cos x+q \cos y=r=p \sin x+q \sin y ∴psin⁡x+qsin⁡y=r\therefore \mathrm{p} \sin \mathrm{x}+\mathrm{q} \sin \mathrm{y}=\mathrm{r} ⇒p2sin⁡2x+q2sin⁡2y+2pqsin⁡x⋅sin⁡y=r2\Rightarrow p^{2} \sin^{2} x+q^{2} \sin^{2} y+2 p q \sin x \cdot \sin y=r^{2}. ……….(i)\ldots\ldots\ldots.(i) এবং Pcos⁡x+qcos⁡y=rP \cos \mathrm{x}+\mathrm{q} \cos \mathrm{y}=\mathrm{r} ……..(ii)\ldots\ldots..(ii) ⇒p2cos⁡2x+q2cos⁡2y+2pqcos⁡x⋅cos⁡y=r2\Rightarrow p^{2} \cos^{2} x+q^{2} \cos^{2} y+2 p q \cos x \cdot \cos y=r^{2} (i) ও (ii) যোগ করে, p2sin⁡2x+p2cos⁡2x+q2sin⁡2y+q2cos⁡2y+2pqsin⁡x⋅sin⁡y+2pqcos⁡xp^{2} \sin^{2} x+p^{2} \cos^{2} x+q^{2} \sin^{2} y+q^{2} \cos^{2} y+2 p q \sin x \cdot \sin y+2 p q \cos x ⇒p2+q2+2pq(cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)=2r2\Rightarrow p^{2}+q^{2}+2 p q(\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y)=2 r^{2} ⇒p2+q2+2pq⋅cos⁡(x−y)=2r2\Rightarrow p^{2}+q^{2}+2 p q \cdot \cos (x-y)=2 r^{2} ⇒2pq{2cos⁡212⋅(x−y)−1}=2r2−p2−q2\Rightarrow 2 p q\left\{2 \cos^{2} \frac{1}{2} \cdot(x-y)-1\right\}=2 r^{2}-p^{2}-q^{2} ⇒4pqcos⁡2x−y2=2r2−p2−q2+2pq\Rightarrow 4 p q \cos^{2} \frac{x-y}{2}=2 r^{2}-p^{2}-q^{2}+2 p q ⇒cos⁡2x−y2=2r2−(p−q)24pq\Rightarrow \cos^{2} \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}=\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}} ⇒cos⁡x−y2=±2r2−(p−q)24pq\Rightarrow \cos \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}= \pm \sqrt{\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}}} ∴φ(x−y2)=±2r2−(p−q)24pq\therefore \varphi\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\right)= \pm \sqrt{\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}}} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতরাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন