Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমান কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমান কর যে,

উদ্দীপক

f(x) = tanx

কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ · 2024

উত্তর

tan⁡45∘=tan⁡(33∘+12∘)\tan 45^{\circ}=\tan \left(33^{\circ}+12^{\circ}\right). ⇒1=tan⁡33∘+tan⁡12∘1−tan⁡33∘tan⁡12∘\Rightarrow 1=\frac{\tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}}{1-\tan 33^{\circ} \tan 12^{\circ}} ⇒tan⁡33∘+tan⁡12∘=1−tan⁡33∘tan⁡12∘\Rightarrow \tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}=1-\tan 33^{\circ} \tan 12^{\circ} ⇒tan⁡33∘+tan⁡12∘+tan⁡33∘⋅tan⁡12∘=1\Rightarrow \tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}+\tan 33^{\circ} \cdot \tan 12^{\circ}=1 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x 2⋅H⋅S=f(θ)+2f(2θ)+4f(4θ)+8f(π/2−8θ)2 \cdot H \cdot S =f(\theta)+2 f(2 \theta)+4 f(4 \theta)+8 f(\pi / 2-8 \theta) =tan⁡θ+2tan⁡2θ+4tan⁡4θ+8tan⁡(π/2−8θ)=\tan \theta+2 \tan 2 \theta+4 \tan 4 \theta+8 \tan (\pi / 2-8 \theta) =tan⁡θ+2tan⁡2θ+4tan⁡4θ+8cot⁡8θ=\tan \theta+2 \tan 2 \theta+4 \tan 4 \theta+8 \cot 8 \theta এখন, 4tan⁡4θ+8cot⁡8θ4 \tan 4 \theta+8 \cot 8 \theta =4(tan⁡4θ+2cot⁡8θ)=4(\tan 4 \theta+2 \cot 8 \theta) =4(sin⁡4θcos⁡4θ+2cos⁡8θsin⁡8θ)=4\left(\frac{\sin 4 \theta}{\cos 4 \theta}+\frac{2 \cos 8 \theta}{\sin 8 \theta}\right) =4(sin⁡4θcos⁡4θ+2cos⁡8θ2sin⁡4θcos⁡θ)=4\left(\frac{\sin 4 \theta}{\cos 4 \theta}+\frac{2 \cos 8 \theta}{2 \sin 4 \theta \cos \theta}\right) =4(sin⁡24θ+1−2sin⁡24θsin⁡4θcos⁡4θ)=4\left(\frac{\sin^{2} 4 \theta+1-2 \sin^{2} 4 \theta}{\sin 4 \theta \cos 4 \theta}\right) =4(cos⁡24θsin⁡4θcos⁡4θ)=4\left(\frac{\cos^{2} 4 \theta}{\sin 4 \theta \cos 4 \theta}\right) =4cot⁡4θ=4 \cot 4 \theta অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, 2tan⁡2θ+4cot⁡4θ=2cot⁡2θ−9402 \tan 2 \theta+4 \cot 4 \theta=2 \cot 2 \theta-940 tan⁡θ+2cot⁡2θ=cot⁡θ\tan \theta+2 \cot 2 \theta=\cot \theta ∴ L.H.S =tan⁡θ+2tan⁡2θ+4tan⁡4θ+8cot⁡8θ\therefore \text{ L.H.S } =\tan \theta+2 \tan 2 \theta+4 \tan 4 \theta+8 \cot 8 \theta =tan⁡θ+2tan⁡2θ+4cot⁡4θ=\tan \theta+2 \tan 2 \theta+4 \cot 4 \theta =tan⁡θ+2cot⁡2θ=\tan \theta+2 \cot 2 \theta =cot⁡θ=\cot \theta ∴ L.H.S = R.H.S \therefore \text{ L.H.S } =\text{ R.H.S } (প্রমাণিত)

উত্তর

ত্রিভুজ ABCA B C হতে পাই, A+B+C=πA+B+C=\pi ⇒A+B=π−C\Rightarrow A+B=\pi-C ⇒cot⁡(A+B)=cot⁡(π−C)\Rightarrow \cot (A+B)=\cot (\pi-C) ⇒cot⁡Acot⁡B−1cot⁡B+cot⁡A=−cot⁡C\Rightarrow \frac{\cot A \cot B-1}{\cot B+\cot A}=-\cot C ⇒cot⁡Acot⁡B−1=−cot⁡Bcot⁡C−cot⁡Ccot⁡A\Rightarrow \cot A \cot B-1=-\cot B \cot C-\cot C \cot A ⇒cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A=1…(i)\Rightarrow \cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A=1 \ldots (i) দেওয়া আছে, f(π/2−A)+f(π/2−B)+f(π/2−C)=3f(\pi / 2-A)+f(\pi / 2-B)+f(\pi / 2-C)=\sqrt{3} ⇒tan⁡(π/2−A)+tan⁡(π/2−B)+tan⁡(π/2)=3\Rightarrow \tan (\pi / 2-A)+\tan (\pi / 2-B)+\tan (\pi / 2)=\sqrt{3} ⇒cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C=3\Rightarrow \cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{3} ⇒(cot⁡A+cot⁡B+cot⁡2)2=(13)2[sin⁡]\Rightarrow\left(\cot A+\cot B+\cot^{2}\right)^{2}=(13)^{2}[\sin ] ⇒cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C+2(cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡cot⁡2A)=3(cot⁡Acot⁡B+cot⁡B+cot⁡C+cot⁡cot⁡A)\Rightarrow \cot^{2} A+\cot^{2} B+\cot^{2} C+2(\cot A \cot B+\left.\cot B \cot C+\cot \cot^{2} A\right)=3(\cot A \cot B+ \cot B+\cot C+\cot \cot A) ⇒cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C−cot⁡Acot⁡B−cot⁡Bcot⁡C\Rightarrow \cot^{2} A+\cot^{2} B+\cot^{2} C-\cot A \cot B-\cot B \cot C ⇒2cot⁡2A+2cot⁡2B+2cot⁡2C−2cot⁡2cot⁡B−2cot⁡BdC−2cot⁡Ccot⁡A=0\begin{aligned} \Rightarrow 2 \cot^2 A +2 \cot^2 B+2 \cot^2 C-2 \cot^2 \cot B-2 \cot B d C -2 \cot C \cot A=0\end{aligned} ⇒(cot⁡A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2\Rightarrow(\cot A-\cot B)^2+(\cot B-\cot C)^2+(\cot C-\cot A)^2 = 0 প্রত্যেকটি শূন্য না হলে তিনটি বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে পারে না। ∴cot⁡A−cot⁡B=0,cot⁡B−cot⁡C=0,cot⁡C−cot⁡A=0\therefore \cot A-\cot B=0, \cot B-\cot C=0, \cot C-\cot A=0 ⇒cot⁡A=cot⁡B,⇒cot⁡B=cot⁡C⇒cot⁡C=cot⁡A\Rightarrow \cot A=\cot B, \Rightarrow \cot B=\cot C \Rightarrow \cot C=\cot A ∴cot⁡A=cot⁡B=cot⁡C\therefore \cot A=\cot B=\cot C ∴A=B=C\therefore A=B=C ∴△ABC\therefore \triangle A B C ত্রিভুজ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতকুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন