Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) বামপক্ষ [গণিত] [(i) নং হতে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, cot⁡β=4tan⁡α\cot \beta=4 \tan \alpha বা, cos⁡βsin⁡β=4sin⁡αcos⁡α\frac{\cos \beta}{\sin \beta}=4 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} বা, cos⁡α⋅cos⁡β=4sin⁡α⋅sin⁡β\cos \alpha \cdot \cos \beta=4 \sin \alpha \cdot \sin \beta ……..(i)\ldots\ldots.. (i) বামপক্ষ =cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} =cos⁡α⋅cos⁡β+sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β=\frac{\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta} =4sin⁡α⋅sin⁡β+sin⁡α⋅sin⁡β4sin⁡α⋅sin⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β=\frac{4 \sin \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta}{4 \sin \alpha \cdot \sin \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta} [(i) নং হতে] =5sin⁡α⋅sin⁡β3sin⁡α⋅sin⁡β=53==\frac{5 \sin \alpha \cdot \sin \beta}{3 \sin \alpha \cdot \sin \beta}=\frac{5}{3}= ডানপক্ষ ∴cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)=53\therefore \frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}=\frac{5}{3} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, θ=C−40∘\theta=\mathrm{C}-40^{\circ} এবং C=60∘\mathrm{C}=60^{\circ} ∴θ=60∘−40∘=20∘\therefore \theta=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ} এখন, tan⁡20∘tan⁡40∘tan⁡80∘=tan⁡20∘tan⁡(60∘−20∘)tan⁡(60∘+20∘)\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ}=\tan 20^{\circ} \tan \left(60^{\circ}-20^{\circ}\right) \tan \left(60^{\circ}+20^{\circ}\right) =tan⁡20∘×tan⁡60∘−tan⁡20∘1+tan⁡60∘⋅tan⁡20∘×tan⁡60∘+tan⁡20∘1−tan⁡60∘⋅tan⁡20∘=\tan 20^{\circ} \times \frac{\tan 60^{\circ}-\tan 20^{\circ}}{1+\tan 60^{\circ} \cdot \tan 20^{\circ}} \times \frac{\tan 60^{\circ}+\tan 20^{\circ}}{1-\tan 60^{\circ} \cdot \tan 20^{\circ}} =tan⁡20∘×3−tan⁡20∘1+3tan⁡20∘×3+tan⁡20∘1−3tan⁡20∘=\tan 20^{\circ} \times \frac{\sqrt{3}-\tan 20^{\circ}}{1+\sqrt{3} \tan 20^{\circ}} \times \frac{\sqrt{3}+\tan 20^{\circ}}{1-\sqrt{3} \tan 20^{\circ}} =tan⁡20∘×(3)2−tan⁡220∘1−(3tan⁡20∘)2=tan⁡20∘×3−tan⁡220∘1−3tan⁡220∘=\tan 20^{\circ} \times \frac{(\sqrt{3})^2-\tan^2 20^{\circ}}{1-\left(\sqrt{3} \tan 20^{\circ}\right)^2}=\tan 20^{\circ} \times \frac{3-\tan^2 20^{\circ}}{1-3 \tan^2 20^{\circ}} =3tan⁡20∘−tan⁡320∘1−3tan⁡220∘=tan⁡(3×20∘)=tan⁡60∘=3= \frac{3 \tan 20^{\circ}-\tan^3 20^{\circ}}{1-3 \tan^2 20^{\circ}}=\tan \left(3 \times 20^{\circ}\right)=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} বামপক্ষ =tan⁡θ⋅tan⁡2θ⋅tan⁡3θ⋅tan⁡4θ=\tan \theta \cdot \tan 2 \theta \cdot \tan 3 \theta \cdot \tan 4 \theta =tan⁡20∘⋅tan⁡40∘⋅tan⁡60∘⋅tan⁡80∘=\tan 20^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ} \cdot \tan 60^{\circ} \cdot \tan 80^{\circ} =tan⁡20∘⋅tan⁡40∘⋅tan⁡80∘⋅tan⁡60∘=\tan 20^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ} \cdot \tan 80^{\circ} \cdot \tan 60^{\circ} =3×3=3==\sqrt{3} \times \sqrt{3}=3= ডানপক্ষ ∴tan⁡θtan⁡2θtan⁡3θtan⁡4θ=3\therefore \tan \theta \tan 2 \theta \tan 3 \theta \tan 4 \theta=3 (প্রমাণিত)

উত্তর

a=3+1, b=3−1\mathrm{a}=\sqrt{3}+1, \mathrm{~b}=\sqrt{3}-1 এবং ∠C=60∘\angle \mathrm{C}=60^{\circ} আমরা জানি, c2=a2+b2−2abcos⁡C\mathrm{c}^2=\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-2 \mathrm{ab} \cos \mathrm{C} =(3+1)2+(3−1)2−2(3+1)(3−1)cos⁡60∘=(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2-2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \cos 60^{\circ} =2(3+1)−2(3−1)12=8−2=6=2(3+1)-2(3-1) \frac{1}{2}=8-2=6 ∴c=6 (Ans.)\therefore \mathrm{c}=\sqrt{6} \text{ (Ans.)} ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে আমরা পাই, sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)\sin 15^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) =sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} =12⋅32−12⋅12=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} =3−122=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} বা, sin⁡B=bcsin⁡C\sin B=\frac{b}{c} \sin C =3−16sin⁡60∘=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{6}} \sin 60^{\circ} =3−13⋅2⋅32=3−122=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} ∴B=sin⁡−1(3−122)=15∘ (Ans.) \therefore \mathrm{B}=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}\right)=15^{\circ} \text{ (Ans.) } ∴A=180∘−(B+C)=180∘−15∘−60∘=105∘ (Ans.)\therefore \mathrm{A}=180^{\circ}-(\mathrm{B}+\mathrm{C})=180^{\circ}-15^{\circ}-60^{\circ}=105^{\circ} \text{ (Ans.)}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতআদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন