Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: ডানপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

PQR\mathrm{PQR} একটি ত্রিভুজ।-

Jessore · 2023

উত্তর

ডানপক্ষ =2+2+2cos⁡4x=\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}} =2+2(1+cos⁡4x)=\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 x)}} =2+2{1+cos⁡(2.2x)}=\sqrt{2+\sqrt{2\{1+\cos (2.2 x)\}}} =2+2⋅2cos⁡22x=\sqrt{2+\sqrt{2 \cdot 2 \cos^{2} 2 x}} =2+2cos⁡2x=\sqrt{2+2 \cos 2 x} =2(i+cos⁡2x)=\sqrt{2(i+\cos 2 x)} =2⋅2cos⁡2x=\sqrt{2 \cdot 2 \cos^{2} x} =22⋅cos⁡2x=\sqrt{2^{2} \cdot \cos^{2} x} =2cos⁡x==2 \cos x= ডানপক্ষ 2cos⁡x=2+2+2cos⁡4x2 \cos x=\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

PQRP Q R ত্রিভুজে, P+Q+R=πP+Q+R=\pi ডানপক্ষ =sin⁡P2+sin⁡Q2+sin⁡R2=\sin \frac{P}{2}+\sin \frac{Q}{2}+\sin \frac{R}{2} =1+sin⁡P2+sin⁡Q2+sin⁡R2−1=1+\sin \frac{P}{2}+\sin \frac{Q}{2}+\sin \frac{R}{2}-1 =1+2sin⁡P+Q4⋅cos⁡P−Q4+sin⁡R2−sin⁡π2=1+2 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot \cos \frac{P-Q}{4}+\sin \frac{R}{2}-\sin \frac{\pi}{2} =1+2sin⁡P+Q4⋅cos⁡P−Q4+2cos⁡R+π4⋅sin⁡R−π4=1+2 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot \cos \frac{P-Q}{4}+2 \cos \frac{R+\pi}{4} \cdot \sin \frac{R-\pi}{4} =1+2sin⁡P+Q4⋅cos⁡P−Q4+2cos⁡2R+P+Q4⋅sin⁡−P−Q4=1+2 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot \cos \frac{P-Q}{4}+2 \cos \frac{2 R+P+Q}{4} \cdot \sin \frac{-P-Q}{4} [∵P+Q+R=π][\because \mathrm{P}+\mathrm{Q}+\mathrm{R}=\pi] =1+2sin⁡P+Q4⋅cos⁡P−Q4−2cos⁡P+Q+2R4⋅sin⁡P+Q4=1+2 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot \cos \frac{P-Q}{4}-2 \cos \frac{P+Q+2 R}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4} [∵sin⁡(−θ)=sin⁡θ][\because \sin (-\theta)=\sin \theta] =1+2sin⁡P+Q2[cos⁡P−Q4−cos⁡P+Q+2R4]=1+2 \sin \frac{P+Q}{2}\left[\cos \frac{P-Q}{4}-\cos \frac{P+Q+2 R}{4}\right] =1+2sin⁡P+Q4⋅2sin⁡P−Q+P+Q+2R8⋅sin⁡P+Q+2R−P+Q8=1+2 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot 2 \sin \frac{P-Q+P+Q+2 R}{8} \cdot \sin \frac{P+Q+2 R-P+Q}{8} =1+4sin⁡P+Q4⋅sin⁡P+R4⋅sin⁡Q+R4=1+4 \sin \frac{P+Q}{4} \cdot \sin \frac{P+R}{4} \cdot \sin \frac{Q+R}{4} =1+4⋅sin⁡Q+R4⋅sin⁡R+P4⋅sin⁡P+Q4=1+4 \cdot \sin \frac{Q+R}{4} \cdot \sin \frac{R+P}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4} = বামপক্ষ ∴1+4⋅sin⁡Q+R4⋅sin⁡R+P4⋅sin⁡P+Q4=sin⁡P2+sin⁡Q2+sin⁡R2\therefore 1+4 \cdot \sin \frac{Q+R}{4} \cdot \sin \frac{R+P}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4}=\sin \frac{P}{2}+\sin \frac{Q}{2}+\sin \frac{R}{2} (প্রমাণিত)

উত্তর

PQR\mathrm{PQR} ত্রিভুজে psin⁡P=qsin⁡Q=rsin⁡R\frac{p}{\sin P}=\frac{q}{\sin Q}=\frac{r}{\sin R} এবং p=qcos⁡R+rcos⁡Qp=q \cos R+r \cos Q q=rcos⁡P+pcos⁡Rq=r \cos P+p \cos R r=pcos⁡Q+qcos⁡P\mathrm{r}=\mathrm{p} \cos \mathrm{Q}+\mathrm{q} \cos \mathrm{P} এখন, P3cos⁡(Q−R)\mathrm{P}^{3} \cos (\mathrm{Q}-\mathrm{R}) =P{p2cos⁡(Q−R)}=\mathrm{P}\left\{\mathrm{p}^{2} \cos (\mathrm{Q}-\mathrm{R})\right\} =P{p2cos⁡Q⋅cos⁡R+p2sin⁡Q⋅sin⁡R)=P\left\{p^{2} \cos Q \cdot \cos R+p^{2} \sin Q \cdot \sin R\right) =P(pcos⁡Q⋅pcos⁡R+psin⁡Q⋅psin⁡R)=P(p \cos Q \cdot p \cos R+p \sin Q \cdot p \sin R) =P{(r−qcos⁡P)(q−rcos⁡P)+qsin⁡P⋅rsin⁡P}=P\{(r-q \cos P)(q-r \cos P)+q \sin P \cdot r \sin P\} =P(qr−q2cos⁡P−r2cos⁡P+qrcos⁡2P+qrsin⁡2P)=P\left(q r-q^{2} \cos P-r^{2} \cos P+q r \cos^{2} P+q r \sin^{2} P\right) =P{qr−(q2+r2)cos⁡P+qr(sin⁡2P+cos⁡2P)}=P\left\{q r-\left(q^{2}+r^{2}\right) \cos P+q r\left(\sin^{2} P+\cos^{2} P\right)\right\} =P{qr−(q2+r2)cos⁡P+qr.1}=\mathrm{P}\left\{\mathrm{qr}-\left(\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}\right) \cos \mathrm{P}+\mathrm{qr} .1\right\} =P{2qr−(q2+r2)cos⁡P}=P\left\{2 q r-\left(q^{2}+r^{2}\right) \cos P\right\} =2pqr−P(q2+r2)cos⁡P=2 \mathrm{pqr}-\mathrm{P}\left(\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}\right) \cos \mathrm{P} অনুরূপভাবে, q3cos⁡(R−P)=2pqr−q(r2+p2)⋅cos⁡Qq^{3} \cos (R-P)=2 p q r-q\left(r^{2}+p^{2}\right) \cdot \cos Q এবং r3cos⁡(P−Q)=2pqr−r(p2+q2)cos⁡Rr^{3} \cos (P-Q)=2 p q r-r\left(p^{2}+q^{2}\right) \cos R বামপক্ষ =p3⋅cos⁡(Q−R)+q3cos⁡(R−P)+r3cos⁡(P−Q)=p^{3} \cdot \cos (Q-R)+q^{3} \cos (R-P)+r^{3} \cos (P-Q) =2pqr−p(q2+r2)cos⁡p+2pqr−q(r2+p2)cos⁡Q=2 p q r-p\left(q^{2}+r^{2}\right) \cos p+2 p q r-q\left(r^{2}+p^{2}\right) \cos Q =6pqr−pq2cos⁡p−r2pcos⁡p−qr2cos⁡Q−p2qcos⁡Q=6 p q r-p q^{2} \cos p-r^{2} p \cos p-q r^{2} \cos Q-p^{2} q \cos Q −pp2cos⁡R−q2rcos⁡R-\mathrm{pp}^{2} \cos R-\mathrm{q}^{2} \mathrm{r} \cos \mathrm{R} =6pqr−pq(pcos⁡Q+qcos⁡P)−qr(qcos⁡R+rcos⁡Q)=6 p q r-p q(p \cos Q+q \cos P)-q r(q \cos R+r \cos Q) −rp(rcos⁡P+pcos⁡R)-r p(r \cos P+p \cos R) = 6pqr – pq.r – qr.p – rp.q = 6pqr – 3pqr = 3pqr = ডানপক্ষ ∴p3cos⁡(Q−R)+q3cos⁡(R−P)+r3cos⁡(P−Q)=3pqr\therefore \mathrm{p}^{3} \cos (\mathrm{Q}-\mathrm{R})+\mathrm{q}^{3} \cos (\mathrm{R}-\mathrm{P})+\mathrm{r}^{3} \cos (\mathrm{P}-\mathrm{Q})=3 \mathrm{pqr}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন