Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: এখানে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi

ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ · 2024

উত্তর

এখানে, A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi বা, A=π−(B+C)\mathrm{A}=\pi-(\mathrm{B}+\mathrm{C}) এবং cos⁡A=cos⁡Bcos⁡C\cos A=\cos B \cos C বামপক্ষ =tan⁡A=\tan \mathrm{A} =sin⁡Acos⁡A=sin⁡{π−(B+C))cos⁡Bcos⁡C=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin \{\pi-(B+C))}{\cos B \cos C} =sin⁡(B+C)cos⁡Bcos⁡C=sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡Ccos⁡Bcos⁡C=\frac{\sin (B+C)}{\cos B \cos C}=\frac{\sin B \cos C+\cos B \sin C}{\cos B \cos C} =sin⁡Bcos⁡Ccos⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡Ccos⁡Bcos⁡C=\frac{\sin B \cos C}{\cos B \cos C}+\frac{\cos B \sin C}{\cos B \cos C} =sin⁡Bcos⁡B+sin⁡Ccos⁡C=tan⁡B+tan⁡C==\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}=\tan B+\tan C= (ডানপক্ষ) ∴tan⁡A=tan⁡B+tan⁡C\therefore \quad \tan A=\tan B+\tan C. (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, △ABCΩA+B+C=π\triangle \mathrm{ABC} \Omega \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi বামপক্ষ =cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=\cos^{2} A+\cos^{2} B+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C =12(2cos⁡2A+2cos⁡2B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=\frac{1}{2}\left(2 \cos^{2} A+2 \cos^{2} B\right)+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C =12(1+cos⁡2A+1+cos⁡2B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=\frac{1}{2}(1+\cos 2 A+1+\cos 2 B)+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C =12(2+2cos⁡2A+2B2cos⁡2A−2B2)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=\frac{1}{2}\left(2+2 \cos \frac{2 A+2 B}{2} \cos \frac{2 A-2 B}{2}\right)+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C =12(2+2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)!+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=\frac{1}{2}\left(2+2 \cos (A+B) \cos (A-B)!+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C\right. =1+cos⁡(π−C)cos⁡(A−B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1+\cos (\pi-C) \cos (A-B)+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C [∵△ABC−△A+B+C=π][\because \triangle A B C-\triangle A+B+C=\pi] =1−cos⁡Ccos⁡(A−B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1-\cos C \cos (A-B)+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡C]+2cos⁡Acos⁡B\cosC=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos C]+2 \cos A \cos B \cosC =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡{π−(A+B)}]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos \{\pi-(A+B)\}]+2 \cos A \cos B \cos C =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1-\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B)]+2 \cos A \cos B \cos C =1−cos⁡C⋅2cos⁡A−B+A+B2cos⁡A+B−A+B2+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1-\cos C \cdot 2 \cos \frac{A-B+A+B}{2} \cos \frac{A+B-A+B}{2}+2 \cos A \cos B \cos C =1−2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1==1-2 \cos A \cos B \cos C+2 \cos A \cos B \cos C=1= ডানপক্ষ ∴cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1\therefore \cos^{2} A+\cos^{2} B+\cos^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজে, a=3+1\mathrm{a}=\sqrt{3}+1 b=3−1\mathrm{b}=\sqrt{3}-1 এবং ∠C=60∘\angle \mathrm{C}=60^{\circ} question image \end{if}]--> আমরা জানি, cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} বা. cos⁡60∘=(3+1)2+(3−1)2−c22(3+1)(3−1)\cos 60^{\circ}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}-c^{2}}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} বা, 12=2{(3)2+12}−c22{(3)2−12=2(3+1)−c22(3−1)=8−c22×2\frac{1}{2}=\frac{2\left\{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}\right\}-c^{2}}{2\left\{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}\right.}=\frac{2(3+1)-c^{2}}{2(3-1)}=\frac{8-c^{2}}{2 \times 2} বা, 8−c22=1\frac{8-c^{2}}{2}=1 বা, 8−c2=28-c^{2}=2 বা, c2=6c^{2}=6 ∴c=6[∵\therefore \quad c=\sqrt{6}[\because ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না] আবার, ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে পাই, asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2C\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 C ∴asin⁡A=csin⁡C\therefore \quad \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} বা, 3+1sin⁡A=6sin⁡60∘=632=6×23=22\frac{\sqrt{3}+1}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6} \times 2}{\sqrt{3}}=2 \sqrt{2} বা, sin⁡A=3+122\sin A=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} আবার, sin⁡A=3+122=32⋅12+12⋅12\sin A=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘=\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} =sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡105∘=\sin \left(60^{\circ}+45^{\circ}\right)=\sin 105^{\circ} ∴∠A=105∘\therefore \angle A=105^{\circ} যখন ∠A=75∘\angle \mathrm{A}=75^{\circ} সূক্ষ্মকোণ, তখন ∠B=180∘−(∠A+∠C)\angle \mathrm{B}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}) ζ∵A+B+C=180∘]\left.\zeta \because A+B+C=180^{\circ}\right] =180∘−(75∘+60∘)= 180^{\circ}-\left(75^{\circ}+60^{\circ}\right) =180∘−135∘=45∘= 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ} ∴△ABC\therefore \triangle \mathrm{ABC} সূক্ষ্মকোণী। যখন ∠A−105∘\angle A-105^{\circ} (স্থূলকোণ) তখন ∠B=180∘−(∠A+∠C)\angle \mathrm{B}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}) [∵A+B+C=180∘]{\left[\because A+B+C=180^{\circ}\right] } =180∘−(105∘+60∘)= 180^{\circ}-\left(105^{\circ}+60^{\circ}\right) =180∘−165∘=15∘= 180^{\circ}-165^{\circ}=15^{\circ} সেক্ষেত্রে △ABC\triangle \mathrm{ABC} স্থূলকোণী। নির্ণেয় সমাধান : ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A=75^{\circ}, \angle B=45^{\circ} এবং C=6\mathrm{C}=\sqrt{6} অথবা, ∠A=105∘,∠B=15∘\angle A=105^{\circ}, \angle B=15^{\circ} এবং C=6C=\sqrt{6}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন