Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=tan⁡x,ABC\mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x}, \mathrm{ABC} একটি ত্রিভুজ।

ঢাকা কলেজ · 2024

উত্তর

বামপক্ষ =(b+c)cos⁡A+(c+a)cos⁡B+(a+b)cos⁡C=(\mathrm{b}+\mathrm{c}) \cos \mathrm{A}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}) \cos \mathrm{B}+(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \cos \mathrm{C} =bcos⁡A+ccos⁡A+ccos⁡B+acos⁡B+acos⁡C+bcos⁡C=\mathrm{b} \cos \mathrm{A}+\mathrm{c} \cos \mathrm{A}+\mathrm{c} \cos \mathrm{B}+\mathrm{a} \cos \mathrm{B}+\mathrm{a} \cos \mathrm{C}+\mathrm{b} \cos \mathrm{C} =(bcos⁡C+ccos⁡B)+(ccos⁡A+acos⁡C)+(acos⁡B+bcos⁡A)=(b \cos C+c \cos B)+(c \cos \mathrm{A}+\mathrm{a} \cos \mathrm{C})+(a \cos \mathrm{B}+\mathrm{b} \cos \mathrm{A}) =a+b+c==a+b+c= ডানপক্ষ ∴(b+c)cos⁡A+(c+a)cos⁡B+(a+b)cos⁡C=a+b+c\therefore(\mathrm{b}+\mathrm{c}) \cos \mathrm{A}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}) \cos \mathrm{B}+(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \cos \mathrm{C}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x ∴f(α)=tan⁡α\therefore f(\alpha)=\tan \alpha Яবং f(β)=tan⁡β\mathrm{f}(\beta)=\tan \beta f(α−β)=tan⁡(α−β)f(\alpha-\beta)=\tan (\alpha-\beta) এবং f(α)f(β)=32\frac{f(\alpha)}{f(\beta)}=\frac{3}{2} বা, tan⁡αtan⁡β=32\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}=\frac{3}{2} বা, 2tan⁡α=3tan⁡β2 \tan \alpha=3 \tan \beta ∴tan⁡α=3tan⁡β2\therefore \tan \alpha=\frac{3 \tan \beta}{2} বামপক্ষ =h(α−β)=tan⁡(α−β)=\mathrm{h}(\alpha-\beta)=\tan (\alpha-\beta) =tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β=3tan⁡β2−tan⁡β1+3tan⁡β2⋅tan⁡β=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{\frac{3 \tan \beta}{2}-\tan \beta}{1+\frac{3 \tan \beta}{2} \cdot \tan \beta} =tan⁡β2+3tan⁡2β=sin⁡βcos⁡β2+3⋅sin⁡2βcos⁡2β=\frac{\tan \beta}{2+3 \tan^2 \beta}=\frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{2+3 \cdot \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}} =sin⁡βcos⁡β2cos⁡2β+3sin⁡2β=2sin⁡βcos⁡β4cos⁡2β+6sin⁡2β=\frac{\sin \beta \cos \beta}{2 \cos^2 \beta+3 \sin^2 \beta}=\frac{2 \sin \beta \cos \beta}{4 \cos^2 \beta+6 \sin^2 \beta} =sin⁡2β4−4sin⁡2β+6sin⁡2β=sin⁡2β4+2sin⁡2β=\frac{\sin 2 \beta}{4-4 \sin^2 \beta+6 \sin^2 \beta}=\frac{\sin 2 \beta}{4+2 \sin^2 \beta} =sin⁡2β5−(1−2sin⁡2β)=sin⁡2β5−cos⁡2β=g(2β)5−f(2β)==\frac{\sin^2 \beta}{5-\left(1-2 \sin^2 \beta\right)}=\frac{\sin 2 \beta}{5-\cos 2 \beta}=\frac{\mathrm{g}(2 \beta)}{5-\mathrm{f}(2 \beta)}= ডানপক্ষ ∴h(α−β)=g(2β)5−f(2β)\therefore h(\alpha-\beta)=\frac{g(2 \beta)}{5-f(2 \beta)} (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক অনুসারে △PQR−Ω,P+Q+R=π\triangle \mathrm{PQR}-\Omega, \mathrm{P}+\mathrm{Q}+\mathrm{R}=\pi বা, Q+R=π−P\mathrm{Q}+\mathrm{R}=\pi-\mathrm{P} বা, cot⁡(Q+R)=cot⁡(π−P)\cot (\mathrm{Q}+\mathrm{R})=\cot (\pi-\mathrm{P}) বা, cot⁡Qcot⁡R−1cot⁡R+cot⁡Q=−cot⁡P\frac{\cot Q \cot R-1}{\cot R+\cot Q}=-\cot P. ∴cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P+cot⁡Pcot⁡Q=1……\therefore \cot Q \cot R+\cot R \cot P+\cot P \cot Q=1 \ldots \ldots (i) আবার, cot⁡P+cot⁡Q+cot⁡R=3\cot P+\cot Q+\cot R=\sqrt{3} বা, (cot⁡P+cot⁡Q+cot⁡R)2=3×1(\cot P+\cot Q+\cot R)^2=3 \times 1 বা, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R+2cot⁡Pcot⁡Q+2cot⁡Qcot⁡R\cot^2 P+\cot^2 Q+\cot^2 R+2 \cot P \cot Q+2 \cot Q \cot R +2cot⁡Rcot⁡P=3(cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P+cot⁡Pcot⁡Q)+2 \cot R \cot \mathrm{P}=3(\cot \mathrm{Q} \cot \mathrm{R}+\cot \mathrm{R} \cot \mathrm{P}+\cot \mathrm{P} \cot \mathrm{Q}) [(i) হতে মান বসিয়ে] বা, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R−cot⁡Qcot⁡R−cot⁡Rcot⁡P\cot^2 \mathrm{P}+\cot^2 \mathrm{Q}+\cot^2 R-\cot \mathrm{Q} \cot R-\cot R \cot \mathrm{P} −cot⁡Pcot⁡Q=0-\cot P \cot Q=0 বা, 12{(cot⁡P−cot⁡Q)2+(cot⁡Q−cot⁡R)2+(cot⁡R−cot⁡P)2}=0\frac{1}{2}\left\{(\cot P-\cot Q)^2+(\cot Q-\cot R)^2+(\cot R-\cot P)^2\right\}=0 ∴(cot⁡P−cot⁡Q)2+(cot⁡Q−cot⁡R)2+(cot⁡R−cot⁡P)2=0\therefore(\cot P-\cot Q)^2+(\cot Q-\cot R)^2+(\cot R-\cot P)^2=0 কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে রাশিগুলোর মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়। অর্থাৎ, (cot⁡P−cot⁡Q)2=0(\cot P-\cot Q)^2=0 & (cot⁡Q−cot⁡R)2=0(\cot Q-\cot R)^2=0 & (cot⁡R−cot⁡P)2=0(\cot R-\cot P)^2=0 বা, cot⁡P−cot⁡Q=0\cot P-\cot Q=0 & বা, cot⁡Q−cot⁡R=0\cot Q-\cot R=0 & বা, cot⁡R−cot⁡P=0\cot R-\cot P=0 বা, cot⁡P=cot⁡Q\cot P=\cot Q & বা, cot⁡Q=cot⁡R\cot Q=\cot R & বা, cot⁡R=cot⁡P\cot R=\cot P ∴P=Q……\therefore P=Q \ldots \ldots. (ii) ∴Q=R…..\therefore Q=R \ldots . .. (iii) ∴R=P….\therefore R=P \ldots .. (iv) (ii), (iii) ও (iv) নং হতে পাই, P=Q=R\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{R} ∴P=Q=R\therefore \mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{R} যেহেতু PQRP Q R ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান। সুতরাং PQR ত্রিভুজটি সমবাহু। (দেখানো হনো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন