Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] STE হতে ত্রিভূজের সাইন সূত্র হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image

Comilla · 2023

উত্তর

প্রদত্ত রাশি, =tan⁡42∘tan⁡78∘cot⁡6∘cot⁡66∘=\frac{\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ}}{\cot 6^{\circ} \cot 66^{\circ}} =tan⁡6∘tan⁡42∘tan⁡66∘tan⁡78∘=\tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ} =sin⁡66∘tan⁡sin⁡42∘sin⁡66∘sin⁡78∘cos⁡6∘cos⁡42∘cos⁡66∘cos⁡78∘=\frac{\sin 66^{\circ} \tan \sin 42^{\circ} \sin 66^{\circ} \sin 78^{\circ}}{\cos 6^{\circ} \cos 42^{\circ} \cos 66^{\circ} \cos 78^{\circ}} =2sin⁡66∘sin⁡6∘2sin⁡78∘sin⁡42∘2cos⁡66∘cos⁡6∘⋅2cos⁡78∘cos⁡42∘=\frac{2 \sin 66^{\circ} \sin 6^{\circ} 2 \sin 78^{\circ} \sin 42^{\circ}}{2 \cos 66^{\circ} \cos 6^{\circ} \cdot 2 \cos 78^{\circ} \cos 42^{\circ}} =(cos⁡60∘−cos⁡72∘)(cos⁡36∘−cos⁡120∘)(cos⁡72∘+cos⁡66∘)(cos⁡120∘+cos⁡36∘)=\frac{\left(\cos 60^{\circ}-\cos 72^{\circ}\right)\left(\cos 36^{\circ}-\cos 120^{\circ}\right)}{\left(\cos 72^{\circ}+\cos 66^{\circ}\right)\left(\cos 120^{\circ}+\cos 36^{\circ}\right)} =(12−cos⁡72∘)(cos⁡36∘+12)(cos⁡72∘+12)(cos⁡36∘−12)=\frac{\left(\frac{1}{2}-\cos 72^{\circ}\right)\left(\cos 36^{\circ}+\frac{1}{2}\right)}{\left(\cos 72^{\circ}+\frac{1}{2}\right)\left(\cos 36^{\circ}-\frac{1}{2}\right)} =(1−2cos⁡72∘)(2cos⁡36∘+1)(2cos⁡72∘+1)(2cos⁡36∘−1)=\frac{\left(1-2 \cos 72^{\circ}\right)\left(2 \cos 36^{\circ}+1\right)}{\left(2 \cos 72^{\circ}+1\right)\left(2 \cos 36^{\circ}-1\right)} =1−2cos⁡(90∘−78∘)(2cos⁡36∘+1)1+2cos⁡(96∘−18∘)(2cos⁡36∘−1)=\frac{1-2 \cos \left(90^{\circ}-78^{\circ}\right)\left(2 \cos 36^{\circ}+1\right)}{1+2 \cos \left(96^{\circ}-18^{\circ}\right)\left(2 \cos 36^{\circ}-1\right)} =(1−2sin⁡18∘)(2cos⁡36∘+1)(1+2sin⁡18∘)(2cos⁡36∘−1)=\frac{\left(1-2 \sin 18^{\circ}\right)\left(2 \cos 36^{\circ}+1\right)}{\left(1+2 \sin 18^{\circ}\right)\left(2 \cos 36^{\circ}-1\right)} =1−2×5−141+2×5−14×2×5+14+12×5+14−1=\frac{1-2 \times \frac{\sqrt{5}-1}{4}}{1+2 \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} \times \frac{2 \times \frac{\sqrt{5}+1}{4}+1}{2 \times \frac{\sqrt{5}+1}{4}-1}} =1−5−121+5−12×5+15+12−1=\frac{1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}-1}{2} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1}} =2−5+12+5×5+1+25+1−2=\frac{2-\sqrt{5}+1}{2+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}+1+2}{\sqrt{5}+1-2} =3−55+1×3+55−1=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} \times \frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} =9−55−1=\frac{9-5}{5-1} =44=\frac{4}{4} =11=\frac{1}{1} অন্যভাবে, প্রদত্ত রাশি, =tan⁡42∘tan⁡78∘cot⁡6∘cot⁡66∘=\frac{\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ}}{\cot 6^{\circ} \cot 66^{\circ}} =tan⁡6∘tan⁡42∘tan⁡66∘tan⁡78∘=\tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ} =tan⁡6∘tan⁡(60∘−18∘)tan⁡(60∘+6∘)tan⁡(60∘+18∘)tan⁡18∘tan⁡18∘=\tan 6^{\circ} \tan \left(60^{\circ}-18^{\circ}\right) \tan \left(60^{\circ}+6^{\circ}\right) \tan \left(60^{\circ}+18^{\circ}\right) \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 18^{\circ}} =tan⁡6∘tan⁡(60∘+6∘)tan⁡18∘×{tan⁡18∘tan⁡(60∘+18∘)tan⁡(60∘−18∘)}=\frac{\tan 6^{\circ} \tan \left(60^{\circ}+6^{\circ}\right)}{\tan 18^{\circ}} \times\left\{\tan 18^{\circ} \tan \left(60^{\circ}+18^{\circ}\right) \tan \left(60^{\circ}-18^{\circ}\right)\right\} =tan⁡6∘tan⁡(66+6∘)tan⁡18∘×tan⁡(3×18∘)=\frac{\tan 6^{\circ} \tan \left(66+6^{\circ}\right)}{\tan 18^{\circ}} \times \tan \left(3 \times 18^{\circ}\right) =tan⁡6∘tan⁡(60∘+6∘)tan⁡54∘tan⁡18∘\frac{=\tan 6^{\circ} \tan \left(60^{\circ}+6^{\circ}\right) \tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}} =tan⁡6∘tan⁡(60+6∘)tan⁡(60∘−6∘)tan⁡18∘=\frac{\tan 6^{\circ} \tan \left(60+6^{\circ}\right) \tan \left(60^{\circ}-6^{\circ}\right)}{\tan 18^{\circ}} =tan⁡(3×6∘)tan⁡18∘=tan⁡18∘tan⁡18∘=1=\frac{\tan \left(3 \times 6^{\circ}\right)}{\tan 18^{\circ}}=\frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 18^{\circ}}=1 [∵tan⁡x⋅tan⁡(60∘+x)\left[\because \tan x \cdot \tan \left(60^{\circ}+x\right)\right.. tan⁡(60∘−x)\tan \left(60^{\circ}-x\right) =tan⁡3x]=\tan 3 x]

উত্তর

△\triangle STE হতে ত্রিভূজের সাইন সূত্র হতে পাই, qsin⁡T=psin⁡s=rsin⁡E\frac{q}{\sin T}=\frac{p}{\sin s}=\frac{r}{\sin E} ⇒sin⁡ssin⁡T=pq=sin⁡s−sin⁡Tsin⁡s+sin⁡T=p−qp+q\Rightarrow \frac{\sin s}{\sin T}=\frac{p}{q}=\frac{\sin s-\sin T}{\sin s+\sin T}=\frac{p-q}{p+q} ⇒2cos⁡s+T2sin⁡s−T22sin⁡s+T2cos⁡s−T2=p−qp+q\Rightarrow \frac{2 \cos \frac{s+T}{2} \sin \frac{s-T}{2}}{2 \sin \frac{s+T}{2} \cos \frac{s-T}{2}}=\frac{p-q}{p+q} ⇒cot⁡s+T2=p−qp+qcot⁡(s−T2)\Rightarrow \cot \frac{s+T}{2}=\frac{p-q}{p+q} \cot \left(\frac{s-T}{2}\right) ⇒cot⁡(π2−E2)=p−qp+qcot⁡(s−T2)\Rightarrow \cot \left(\frac{\pi}{2}-\frac{E}{2}\right)=\frac{p-q}{p+q} \cot \left(\frac{s-T}{2}\right) ⇒tan⁡E2=p−qp+qcot⁡(s−T2)\Rightarrow \tan \frac{E}{2}=\frac{p-q}{p+q} \cot \left(\frac{s-T}{2}\right) (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, p4+q4+r4=2p2(q2+r2)p^{4}+q^{4}+r^{4}=2 p^{2}\left(q^{2}+r^{2}\right) ⇒(−p2)2+(q2)2+(r2)2−2p2q2−2p2r2=0∘\Rightarrow\left(-p^{2}\right)^{2}+\left(q^{2}\right)^{2}+\left(r^{2}\right)^{2}-2 p^{2} q^{2}-2 p^{2} r^{2}=0^{\circ} ⇒(−p2)2+(q2)2+(r2)2−2p2q2−2p2r2+2q2r2=2q2r2\Rightarrow\left(-p^{2}\right)^{2}+\left(q^{2}\right)^{2}+\left(r^{2}\right)^{2}-2 p^{2} q^{2}-2 p^{2} r^{2}+2 q^{2} r^{2}=2 q^{2} r^{2} ⇒(q2+r2−p2)2=2q2r2\Rightarrow\left(q^{2}+r^{2}-p^{2}\right)^{2}=2 q^{2} r^{2} ⇒q2+r2−p2=±2qr\Rightarrow q^{2}+r^{2}-p^{2}= \pm \sqrt{2} q r ⇒q2+r2−p22q2=±12\Rightarrow \frac{q^{2}+r^{2}-p^{2}}{2 q^{2}}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} ⇒cos⁡S=±cos⁡45∘\Rightarrow \cos S= \pm \cos 45^{\circ} ∴cos⁡S=cos⁡45∘\therefore \cos S=\cos 45^{\circ} ∴S=45∘\therefore \mathrm{S}=45^{\circ} আবার, cos⁡S=cos⁡135∘\cos S=\cos 135^{\circ} ∴S=135∘\therefore \mathrm{S}=135^{\circ} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন