Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক হতে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপক হতে দেখাও যে,

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

cos⁡4α=cos⁡2⋅2α\cos 4 \alpha=\cos 2 \cdot 2 \alpha =cos⁡22α−sin⁡22α=\cos^{2} 2 \alpha-\sin^{2} 2 \alpha [∵cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ]\left[\because \cos 2 \theta=\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta\right] =(2cos⁡2α−1)2−(2sin⁡α⋅cos⁡2)2=\left(2 \cos^{2} \alpha-1\right)^{2}-\left(2 \sin \alpha \cdot \cos^{2}\right)^{2} =(2cos⁡2α−1)2−4sin⁡2α⋅cos⁡2α=\left(2 \cos^{2} \alpha-1\right)^{2}-4 \sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2} \alpha =(2cos⁡2α−1)2−4cos⁡2α(1−cos⁡2α)=\left(2 \cos^{2} \alpha-1\right)^{2}-4 \cos^{2} \alpha\left(1-\cos^{2} \alpha\right) =4cos⁡4α−4cos⁡2α+1−4cos⁡2α+4cos⁡4α=4 \cos^{4} \alpha-4 \cos^{2} \alpha+1-4 \cos^{2} \alpha+4 \cos^{4} \alpha =8cos⁡4α−8cos⁡2α+1=8 \cos^{4} \alpha-8 \cos^{2} \alpha+1 ∴cos⁡4α=8cos⁡4α−8cos⁡2α+1\therefore \cos 4 \alpha=8 \cos^{4} \alpha-8 \cos^{2} \alpha+1 এটিই cos⁡4α\cos 4 \alpha কে cos⁡α\cos \alpha এর অনুপাতে প্রকাশ।

উত্তর

△ABC\triangle A B C-এ, A+B+C=πA+B+C=\pi বা, A+B=π−CA+B=\pi-C\\ ∴cot⁡(A+B)=cot⁡(π−C)\therefore \quad \cot (A+B)=\cot (\pi-C) বা, cot⁡(A+B)=−cot⁡C\cot (A+B)=-\cot C বা, cot⁡Acot⁡B−1cot⁡σ′A+cot⁡B=−cot⁡C\frac{\cot A \cot B-1}{\cot \sigma^{\prime} A+\cot B}=-\cot C বা, cot⁡Acot⁡B−1=−cot⁡Ccot⁡A−cot⁡Bcot⁡C\cot A \cot B-1=-\cot C \cot A-\cot B \cot C ∴cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A=1\therefore \quad \cot \mathrm{A} \cot \mathrm{B}+\cot \mathrm{B} \cot \mathrm{C}+\cot \mathrm{C} \cot \mathrm{A}=1 ……...(i)\ldots\ldots... (i) আবার, cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C=3\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{3} উভয় পাশে বর্গ করে পাই, (cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2=(3)2(\cot A+\cot B+\cot C)^{2}=(\sqrt{3})^{2} বা, (cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2=3⋅1(\cot A+\cot B+\cot C)^{2}=3 \cdot 1 বা, (cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2(\cot A+\cot B+\cot C)^{2} =3{cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A}=3\{\cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A\} [(i) নং হতে] বা, cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C+2cot⁡Acot⁡B+2cot⁡Bcot⁡C\cot^{2} A+\cot^{2} B+\cot^{2} C+2 \cot A \cot B+2 \cot B \cot C +2cot⁡Ccot⁡A−3cot⁡Acot⁡B−3cot⁡Bcot⁡C−3cot⁡Ccot⁡A=0+2 \cot C \cot A-3 \cot A \cot B-3 \cot B \cot C-3 \cot C \cot A=0 বা, cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C−cot⁡Acot⁡B−cot⁡Bcot⁡C−cot⁡Ccot⁡A=0\cot^{2} A+\cot^{2} B+\cot^{2} C-\cot A \cot B-\cot B \cot C-\cot C \cot A=0 বা, 12{(cot⁡A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2}=0\frac{1}{2}\left\{(\cot A-\cot B)^{2}+(\cot B-\cot C)^{2}+(\cot C-\cot A)^{2}\right\}=0 বা, (cot⁡A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2=0(\cot A-\cot B)^{2}+(\cot B-\cot C)^{2}+(\cot C-\cot A)^{2}=0 যেহেতু তিনটি রাশির বর্গের যোগফল শূন্য। অতএব, এদের প্রত্যেকটি সমান শূন্য হবে। ∴(cot⁡A−cot⁡B)2=0\therefore \quad(\cot A-\cot B)^{2}=0 বা, cot⁡A=cot⁡B\cot A=\cot B ∴A=B\therefore \quad A=B এবং (cot⁡B−cot⁡C)2=0(\cot B-\cot C)^{2}=0 বা, cot⁡B=cot⁡C\cot B=\cot C ∴B=C\therefore \quad \mathrm{B}=\mathrm{C} আবার, (cot⁡C−cot⁡A)2=0(\cot C-\cot A)^{2}=0 বা, cot⁡C=cot⁡A\cot C=\cot A ∴C=A\therefore \quad \mathrm{C}=\mathrm{A} ∴A=B=C\therefore \quad A=B=C অর্থাৎ, ABC ত্রিভুজটি সমবাহু। সুতরাং AB = BC = CA. (দেখানো হলো)

উত্তর

a3cos⁡( B−C)\mathrm{a}^{3} \cos (\mathrm{~B}-\mathrm{C}) =a2{acos⁡(B−C)}=a^{2}\{a \cos (B-C)\} =a2{2Rsin⁡Acos⁡(B−C)}=a^{2}\{2 R \sin A \cos (B-C)\} [∵asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R∴a=2Rsin⁡A]\left[\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R \therefore a=2 R \sin A\right] =2Ra2sin⁡(B+C)cos⁡(B−C)=2 R a^{2} \sin (B+C) \cos (B-C) =Ra2{sin⁡2 B+sin⁡2C}=R a^{2}\{\sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 \mathrm{C}\} =Ra⁡2{2sin⁡Bcos⁡B+2sin⁡Ccos⁡C}=\operatorname{Ra}^2\{2 \sin B \cos B+2 \sin C \cos C\} =2Ra2{b2Rc2+a2−b22ca+C2R⋅a2+b2c22ab}=2 R a^{2}\left\{\frac{b}{2 R} \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}+\frac{C}{2 R} \cdot \frac{a^{2}+b^{2} c^{2}}{2 a b}\right\} =ab2c(c2+a2−b2)+c2R(a2+b2−c2)=\frac{a b}{2 c}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+\frac{c}{2 R}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) =abc2c2(c2+a2−b2)+abc2b2(a2+b2−c2)=\frac{a b c}{2 c^{2}}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+\frac{a b c}{2 b^{2}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) অনুরূপভাবে, b3cos⁡(C−A)b^{3} \cos (C-A) =abc2a2(a2+b2−c2)+abc2c2(b2+c2−a2)=\frac{a b c}{2 a^{2}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+\frac{a b c}{2 c^{2}}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) এবং c3cos⁡(A−B)c^{3} \cos (A-B) =abc2b2(a2+b2−c2)+abc2c2(c2+a2−b2)=\frac{a b c}{2 b^{2}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+\frac{a b c}{2 c^{2}}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) বামপক্ষ =a3cos⁡(B−C)+b3cos⁡(C−A)+=a^{3} \cos (B-C)+b^{3} \cos (C-A)+ c3cos⁡(A−B)c^{3} \cos (A-B) =abc2a2(2a2)+abc2b2(2b2)+abc2c2(2c2)= \frac{a b c}{2 a^{2}}\left(2 a^{2}\right)+\frac{a b c}{2 b^{2}}\left(2 b^{2}\right)+\frac{a b c}{2 c^{2}}\left(2 c^{2}\right) =abc+abc+abc=3abc==a b c+a b c+a b c=3 a b c= ডানপক্ষ ∴a3cos⁡(B−C)+b3cos⁡(C−A)\therefore a^{3} \cos (B-C)+b^{3} \cos (C-A) +c3cos⁡(A−B)=3abc+c^{3} \cos (A-B)=3 a b c (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন