Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=\frac{x-4}{(x+1}(x+2)} এবং g(x)=3+4sin⁡xg(x)=3+4 \sin x

মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

lim⁡x→∞7xsin⁡a7x\lim_{x \rightarrow \infty} 7^{x} \sin \frac{a}{7^{x}} ধরি, a7x=θ\frac{a}{7^{x}}=\theta বা, 7x=aθ7^{x}=\frac{a}{\theta} x→θx \rightarrow \theta হলে, θ→0\theta \rightarrow 0 ∴lim⁡x→∞7xsin⁡a7x=lim⁡θ→0aθ⋅sin⁡θ\therefore \lim_{x \rightarrow \infty} 7^{x} \sin \frac{a}{7^{x}}=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{a}{\theta} \cdot \sin \theta =lim⁡θ→0sin⁡θθ=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} =a⋅1=a=a \cdot 1=a নির্ণেয় মান : a.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=\frac{x-4}{(x+1}(x+2)} আবার, y=f(x)y=f(x) \therefore y=\frac{x-4}{(x+1}(x+2)}. . . . . . . . . . . . .(1) যেহেতু (1) নং বক্ররেখাটি xx অক্ষকে ছেদ করে, সেহেতু ছেদবিন্দুর কোটি, y=0y = 0 \therefore \quad 0=\frac{x-4}{(x+1}(x+2)} বা, x−4=0x-4=0 ∴x=4\therefore x=4 অর্থাৎ, (1) নং বক্ররেখা xx অক্ষকে (4,0)(4, 0) বিন্দুতে ছেদ করে। (1) নং কে xxএর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{(x+1)(x+2) \frac{d}{d x}(x-4)-(x-4) \frac{d}{d x}\{(x+1)(x+2)\}}{\{(x+1)(x+2)\}^2} \\ & =\frac{(x+1)(x+2)(1-0)-(x-4) \frac{d}{d x}\left(x^2+34+2\right)}{(x+1)^2(x+2)^2} \\ & =\frac{(x+1)(x+2)-(x-4)(2 x+3)}{(x+1}^2(x+2)^2} \\ & =\frac{(x+1)(x+2)-(x-4)(2 x+3)}{(x+1}^2(x+2)^2}\end{aligned} (4,0)(4, 0) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{(4+1)(4+2)-(4-4)(2 \times 4+3)}{(4+1}^2(4+2)^2} \\ & =\frac{5 \times 6-0}{5^2 \times 6^2}=\frac{30}{900}=\frac{1}{30} \\ \therefore \frac{d x}{d y} & =30\end{aligned} (4,0)(4, 0) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=dydx(x−x1)\quad y-y_1=\frac{d y}{d x}\left(x-x_1\right) বা, y−0=130(x−4)y-0=\frac{1}{30}(x-4) বা, 30y=x−430 y=x-4 ∴x−30y−4=0\therefore x-30 y-4=0 (4,0)(4,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, y−y1=−dxdy(x−x1)\quad y-y_1=-\frac{d x}{d y}\left(x-x_1\right) বা, y−0=−30(x−4)y-0=-30(x-4) বা, y=−30(x−4)y=-30(x-4) বা, y=−30x+120y=-30 x+120 ∴30x+y−120=0\therefore 30 x+y-120=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, x−30y−4=0x-30 y-4=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ, 30x+y−120=030 x+y-120=0

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=3+4sin⁡xg(x)=3+4 \sin x আবার, y=g(x)y=\sqrt{g(x)} হলে, y=3+4sin⁡xy=\sqrt{3+4 \sin x} বা, y2=3+4sin⁡xy^2=3+4 \sin x \quad [বর্গ করে] xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, 2ydydx=0+4cos⁡x2 y \frac{d y}{d x}=0+4 \cos x বা, 2ydydx=4cos⁡x2 y \frac{d y}{d x}=4 \cos x আবার, xxএর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, 2ddx(ydydx)=4ddx(cos⁡x)2 \frac{d}{d x}\left(y \frac{d y}{d x}\right)=4 \frac{d}{d x}(\cos x) বা, 2(yd2ydx2+dydx×dydx)=4(−sin⁡x)2\left(y \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{d y}{d x} \times \frac{d y}{d x}\right)=4(-\sin x) বা, 2d2ydx2+2(dydx)2=−4sin⁡x2 \frac{d^2 y}{d x^2}+2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=-4 \sin x বা, 2yd2ydx2+2(dydx)2=3−y22 y \frac{d^2 y}{d x^2}+2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=3-y^2 [∵y2=3+4sin⁡x\left[\because y^2=3+4 \sin x\right. বা, −4sin⁡x=3−y2]\left.-4 \sin x=3-y^2\right] ∴2yd2ydx2+2(dydx)2+y2=3\therefore 2 y \frac{d^2 y}{d x^2}+2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+y^2=3 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন