Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=a5x;g(x)=(x+1+x2)f(x)=a^{5 x} ; g(x)=\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা · 2025

উত্তর

আমরা জানি, log⁡xa=log⁡xe×log⁡ea=ln⁡alog⁡ex\log_{x} a=\log_{x} e \times \log_{e} a=\frac{\ln a}{\log_{e} x} =ln⁡aln⁡x=\frac{\ln a}{\ln x} \therefore \frac{d}{d x} \log_{x} a=\frac{-\ln a}{(\ln x}^{2}} \times \frac{1}{x} নির্ণেয় অন্তরজ =\frac{-\ln a}{x(\ln x}^{2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a5xf(x)=a^{5 x} f(x+h)=a5(x+h)f(x+h)=a^{5(x+h)} অন্তরজের মূল নিয়ম অনুযায়ী, f′(x)=ddxf(x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) =Lt⁡h→0f(x+h)−f(x)h=\operatorname{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{f(\mathrm{x}+\mathrm{h})-f(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} =Lt⁡h→0a5(x+h)−a5xh=\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{a^{5(x+h)}-a^{5 x}}{h} =Lth→0a5x(a5h−1)h=\mathrm{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{a}^{5 x}\left(a^{5 h}-1\right)}{h} =a5xLt⁡h→0{1+5hln⁡a+(5hln⁡a)22!+(5hln⁡a)33!+……}−1h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{\left\{1+5 h \ln a+\frac{(5 h \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{(5 h \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}-1}{h} =a5xLt⁡h→0h{5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……}h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{h\left\{5 \ln a+\frac{h(5 \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{h^{2}(5 \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}}{h} =a5xLth→0[5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……]=\mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \underset{\mathrm{h} \rightarrow 0}{\mathrm{Lt}}\left[5 \ln \mathrm{a}+\frac{\mathrm{h}(5 \ln \mathrm{a})^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{h}^{2}(5 \ln \mathrm{a})^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right] =a5x[5ln⁡a+0+0+=a^{5 x}[5 \ln a+0+0+ =5a5xln⁡a=5 a^{5 x} \ln a নির্ণেয় অন্তরজ : 5a5xln⁡5 \mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \ln a.

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, g(x)=x+1+x2g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} ∴z={g(x)}m\therefore z=\{g(x)\}^{m} =(x+1+x2)m=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m} ⇒dzdx=m(x+1+x2)m−1×(1+121+x2×2x)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1} \times\left(1+\frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \times 2 x\right) ⇒dzdx=m(x+1+x2)mx+1+x2(1+x1+x2)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m \frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right) ⇒dzdx=mzx+1+x2×x+1+x21+x2\Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{m z}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \times \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} ⇒(1+x2)dzdx=mz\Rightarrow\left(\sqrt{1+x^{2}}\right) \frac{d z}{d x}=m z ⇒(1+x2)(dzdx)2=m2z2\Rightarrow\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2}=m^{2} z^{2} ⇒(1+x2)2⋅dzdx⋅d2zdx2+(dzdx)2×2x=m2×2z×dzdx\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) 2 \cdot \frac{d z}{d x} \cdot \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2} \times 2 x=m^{2} \times 2 z \times \frac{d z}{d x} ⇒(1+x2)d2zdx2+xdzdx−m2z=0\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+x \frac{d z}{d x}-m^{2} z=0 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, | Prosthuti