Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যে সকল ব্যবধিতে [গণিত] এর মান বৃদ্ধি ও হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] যে সকল ব্যবধিতে f(x) এর মান বৃদ্ধি পায় সেখানে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) [চিত্র] অসমতাটি সত্য হবে যদি [গণিত] এবং [গণিত] উভয়েই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয় অর্থাৎ, [গণিত] অথবা [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] বৃদ্ধি পায়। আবার, [গণিত] হ্রাস প্রাপ্ত হলে, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] অসমতাটি সত্য হবে যদি [গণিত] হয়। অর্থাৎ, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] হ্রাস প্রাপ্ত।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

যে সকল ব্যবধিতে এর মান বৃদ্ধি ও হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : f(x)=2x3−9x2+12x−5f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-5. উদ্দীপক-২: g(x)=sec⁡5x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sec 5 \mathrm{x}.

রাজশাহী কলেজ · 2025

উত্তর

x→∞x \rightarrow \inftyহলে, 5x→∞5^x \rightarrow \infty তাহলে, 15x→0\frac{1}{5^x} \rightarrow 0 lim⁡x→∞5xsin⁡55x\lim_{x \rightarrow \infty} 5^x \sin \frac{5}{5^x} =lim⁡x→∞sin⁡55x15x=15x→0(sin⁡55x55x)⋅5=1.5=5=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{5}{5^x}}{\frac{1}{5^x}}=\frac{1}{5^x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{5}{5^x}}{\frac{5}{5^x}}\right) \cdot 5=1.5=5 নির্ণেয় মান 5.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=sec⁡5xg(x)=\sec 5 x ∴g(x+h)=sec⁡5(x+h)=sec⁡(5x+5h)\therefore \quad g(x+h)=\sec 5(x+h)=\sec (5 x+5 h) মূল নিয়মের সংখ্যানুসারে, ddxg(x)=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h\frac{d}{d x} g(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} ∴ddx(sec⁡2x)=lim⁡h→0sec⁡(2x+2h)−sec⁡2xh\therefore \frac{d}{d x}(\sec 2 x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sec (2 x+2 h)-\sec 2 x}{h} =lim⁡h→01h[1cos⁡(2x+2h)−1cos⁡2x]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{1}{\cos (2 x+2 h)}-\frac{1}{\cos 2 x}\right] =lim⁡h→01h[cos⁡2x−cos⁡(2x+2h)cos⁡2x⋅cos⁡(2x+2h)]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{\cos 2 x-\cos (2 x+2 h)}{\cos 2 x \cdot \cos (2 x+2 h)}\right] মূল নিয়মের সংখ্যানুসারে, ddxg(x)=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h\frac{d}{d x} g(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} ∴ddx(sec⁡2x)=lim⁡h→0sec⁡(2x+2h)−sec⁡2xh\therefore \frac{d}{d x}(\sec 2 x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sec (2 x+2 h)-\sec 2 x}{h} =lim⁡h→01h[1cos⁡(2x+2h)−1cos⁡2x]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{1}{\cos (2 x+2 h)}-\frac{1}{\cos 2 x}\right] =lim⁡h→01h[cos⁡2x−cos⁡(2x+2h)cos⁡2x⋅cos⁡(2x+2h)]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{\cos 2 x-\cos (2 x+2 h)}{\cos 2 x \cdot \cos (2 x+2 h)}\right] =lim⁡h→01h[2sin⁡(2x+2x+2h2)⋅sin⁡(2x+2h−2x2)lim⁡h→0[1h[2sin⁡(2x+h)⋅sin⁡hcos⁡2x⋅cos⁡(2x+2h)]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{2 \sin \left(\frac{2 x+2 x+2 h}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{2 x+2 h-2 x}{2}\right)}{\lim_{h \rightarrow 0}}\left[\frac{1}{h}\left[\frac{2 \sin (2 x+h) \cdot \sin h}{\cos 2 x \cdot \cos (2 x+2 h)}\right]\right.\right. =lim⁡h→02h[sin⁡(2x+h)⋅sin⁡hcos⁡2x⋅cos⁡(2x+2h)]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2}{h}\left[\frac{\sin (2 x+h) \cdot \sin h}{\cos 2 x \cdot \cos (2 x+2 h)}\right] lim⁡h→0sin⁡(2x+h)⋅h→0(sin⁡hh)\lim_{h \rightarrow 0} \sin (2 x+h) \cdot h \rightarrow 0\left(\frac{\sin h}{h}\right) =2⋅lim⁡h→0cos⁡2x⋅cos⁡(2x+2h)=2 \cdot \frac{\lim }{h \rightarrow 0} \cos 2 x \cdot \cos (2 x+2 h) =2⋅sin⁡2x⋅1cos⁡2x⋅cos⁡2x=2 \cdot \frac{\sin 2 x \cdot 1}{\cos 2 x \cdot \cos 2 x} ∴ddx(sec⁡2x)=2sec⁡2xtan⁡2x\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\sec 2 \mathrm{x})=2 \sec 2 \mathrm{x} \tan 2 \mathrm{x}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x3−9x2+12x−5f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-5 ∴f′(x)=6x2−18x+12\therefore \quad f^{\prime}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}^2-18 \mathrm{x}+12 যে সকল ব্যবধিতে f(x) এর মান বৃদ্ধি পায় সেখানে f′(x)>0f^{\prime}(\mathrm{x})>0 বা, 6x2−18x+12>06 x^2-18 x+12>0 বা, x2−3x+2>0x^2-3 x+2>0 বা, x2−2x−x+2>0x^2-2 x-x+2>0 বা, x(x−2)−1(x−2)>0x(x-2)-1(x-2)>0 বা, (x−2)(x−1)>0(x-2)(x-1)>0 …..(i)\ldots.. (i) question image অসমতাটি সত্য হবে যদি (x2)(x 2) এবং (x−1)(x-1) উভয়েই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয় অর্থাৎ, x>2x > 2 অথবা x<1x < 1 হয় ∴x<1\therefore x < 1 অথবা x>−2x > - 2 ব্যবধিতে f(x)f(x) বৃদ্ধি পায়। আবার, f(x)f(x) হ্রাস প্রাপ্ত হলে, f′(x)<0f^{\prime}(x)<0 বা, (x−2)(x−1)<0(x-2)(x-1)<0 question image অসমতাটি সত্য হবে যদি 1<x<21 < x <2 হয়। অর্থাৎ, 1<x<21 < x < 2 ব্যবধিতে f(x)f(x) হ্রাস প্রাপ্ত।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন