Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x

আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x মনে করি, π2−x=θ\frac{\pi}{2}-x=\theta বা, x=π2−θx=\frac{\pi}{2}-\theta; যখন x→π2x \rightarrow \frac{\pi}{2}, তখন θ→0\theta \rightarrow 0 ∴lim⁡x→π21−sin⁡x(π2−x)2=lim⁡θ→01−sin⁡(π2−θ)θ2\therefore \quad \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} \frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2}} \quad =lim⁡θ→01−cos⁡θθ2=lim⁡θ→0(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)θ2(1+cos⁡θ)=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2}=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}{\theta^2(1+\cos \theta)} =lim⁡θ→01−cos⁡2θθ2(1+cos⁡θ)=θ→0sin⁡2θθ2(1+cos⁡θ)=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos^2 \theta}{\theta^2(1+\cos \theta)}=\theta \rightarrow 0 \frac{\sin^2 \theta}{\theta^2(1+\cos \theta)} =lim⁡θ→0sin⁡2θθ2⋅θ→0lim⁡11+cos⁡θ=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin^2 \theta}{\theta^2} \cdot \theta \rightarrow 0 \lim \frac{1}{1+\cos \theta} =(lim⁡θ→0sin⁡θθ)2=θ→011+cos⁡θ=\left(\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}\right)^2=\theta \rightarrow 0 \frac{1}{1+\cos \theta} =12×11+cos⁡0=1×11+1=12.= 1^2 \times \frac{1}{1+\cos 0}=1 \times \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} . নির্ণেয় মান : 12\frac{1}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ∴f(3x)=sin⁡3x\therefore \quad f(3 x)=\sin 3 x ধরি, g(x)=f(3x)=sin⁡3xg(x)=f(3 x)=\sin 3 x ∴g(x+h)=sin⁡3(x+h)=sin⁡(3x+3h)\therefore g(x+h)=\sin 3(x+h)=\sin (3 x+3 h) মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, ddx{g(x)}=lim⁡h→0g(x+)−g(x)h=lim⁡h→0sin⁡(3x+3h)−sin⁡3xh\frac{d}{d x}\{g(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+)-g(x)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (3 x+3 h)-\sin 3 x}{h} ∴ddx(sin⁡3x)=lim⁡h→02cos⁡(3x+3h+3x2)sin⁡(3x+3h−3x2)h\therefore \frac{d}{d x}(\sin 3 x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{3 x+3 h+3 x}{2}\right) \sin \left(\frac{3 x+3 h-3 x}{2}\right)}{h} =lim⁡h→0[2cos⁡(3x+3h2)⋅sin⁡(3h2)h]=\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{2 \cos \left(3 x+\frac{3 h}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{3 h}{2}\right)}{h}\right] =2lim⁡h→0cos⁡(3x+3h2)⋅lim⁡3h2→0sin⁡3h23h2×32[∵h→0 হলে ,3h2→0]\begin{array}{r}=2 \lim_{h \rightarrow 0} \cos \left(3 x+\frac{3 h}{2}\right) \cdot \lim_{\frac{3 h}{2} \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{3 h}{2}}{\frac{3 h}{2}} \times \frac{3}{2} \\ {\left[\because h \rightarrow 0 \text{ হলে }, \frac{3 h}{2} \rightarrow 0\right]}\end{array} =2cos⁡(3x+0)⋅1⋅32=3cos⁡3x=2 \cos (3 x+0) \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}=3 \cos 3 x নির্ণেয় অন্তরজ : 3cos⁡3x3 \cos 3 \mathrm{x}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x} ∴g(sin⁡x)=sin⁡x\therefore g(\sin x)=\sin x এখানে, y=4+3g(sin⁡x)y=\sqrt{4+3 g(\sin x)} বা, y2=4+3sin⁡xy^2=4+3 \sin x [বর্গ করে] ∴ddxy2=ddx(4+3sin⁡x)\therefore \quad \frac{d}{d x} y^2=\frac{d}{d x}(4+3 \sin x) বা, 2yy1=0+3cos⁡x2 y y_1=0+3 \cos x বা, ddx(2y⋅y1)=ddx(3cos⁡x)\frac{d}{d x}\left(2 y \cdot y_1\right)=\frac{d}{d x}(3 \cos x) বা, 2(yddxy1+y1ddxy)=−3sin⁡x2\left(y \frac{d}{d x} y_1+y_1 \frac{d}{d x} y\right)=-3 \sin x বা, 2(yy2+y1⋅y1)=−3sin⁡x2\left(\mathrm{yy}_2+y_1 \cdot y_1\right)=-3 \sin x বা, 2y⋅y2+2y12=−3sin⁡x2 y \cdot y_2+2 y_1{ }^2=-3 \sin x বা, 2y⋅y2+2y12+y2=−3sin⁡x+4+3sin⁡x2 y \cdot y_2+2 y_1{ }^2+y^2=-3 \sin x+4+3 \sin x বা, 2y⋅y2+2y12+y2=4\quad 2 \mathrm{y} \cdot \mathrm{y}_2+2 \mathrm{y}_1^2+\mathrm{y}^2=4 ∴2y2+2y12+y2−4=0\therefore \quad 2 y_2+2 y_1^2+y^2-4=0. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে, প্রমাণ কর যে, . | Prosthuti