Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান [গণিত] , যেখানে [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া বাবে। নির্ণেয় লঘুমান [গণিত] যেখানে [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, এর লঘুমান , যেখানে .

উদ্দীপক

x2y−5xy+6y−x+7=0x^{2} y-5 x y+6 y-x+7=0 একটি বক্ররেখার সমীকরণ এবং f(x)=emxf(x)=e^{m x}.

চট্টগ্রাম কলেজ · 2024

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−1(1+x2)12y=\cos^{-1}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad এবং x=cos⁡θx=\cos \theta =cos⁡−1(1+cos⁡θ2)12∴θ=cos⁡−1x=\cos^{-1}\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad \therefore \theta=\cos^{-1} \mathrm{x} =cos⁡−1(2cos⁡2θ22)12=\cos^{-1}\left(\frac{2 \cos^{2} \frac{\theta}{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}} =cos⁡−1(cos⁡2θ2)12=cos⁡−1(cos⁡θ2)=θ2=12cos⁡−1x=\cos^{-1}\left(\cos^{2} \frac{\theta}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\cos^{-1}\left(\cos \frac{\theta}{2}\right)=\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} \cos^{-1} x ∴dydx=ddx(12cos⁡−1x)\therefore \quad \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{2} \cos^{-1} \mathrm{x}\right) =12ddx(cos⁡−1x)=12×−11−x2=−121−x2=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} x\right)=\frac{1}{2} \times \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} ∴ddx{cos⁡−1(1+x2)12}=−121−x2\therefore \quad \frac{d}{d x}\left\{\cos^{-1}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\}=-\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}.

উত্তর

দেওয়া আছে, x2y−5xy+6y−x+7=0x^{2} y-5 x y+6 y-x+7=0 …...(i)\ldots... (i) বক্ররেখাটি xx অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুত, y=0y=0 (i)নং সমীকরণ হতে পাই, x2.0−5x.0+6.0−x+7=0\mathrm{x}^{2} .0-5 \mathrm{x} .0+6.0-\mathrm{x}+7=0 ∴x=7\therefore \quad \mathrm{x}=7 অর্থাৎ, বক্ররেখাটি xx অক্ষকে (7,0)(7,0) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, (i) নং কে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকীরণ করে পাই, x2dydx+y×2x−5xdydx−5y×1+6dydx−1=0x^{2} \frac{d y}{d x}+y \times 2 x-5 x \frac{d y}{d x}-5 y \times 1+6 \frac{d y}{d x}-1=0 বা, (x2−5x+6)dydx=1+5y−2xy\left(x^{2}-5 x+6\right) \frac{d y}{d x}=1+5 y-2 x y ∴dydx=1+5y−2xyx2−5x+6\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1+5 \mathrm{y}-2 \mathrm{xy}}{\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+6} (7,0)(7,0) বিন্দুতে ঢাল, (dydx)(7,0)=1+5.0−2.7.072−5×7+6\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{(7,0)}=\frac{1+5.0-2.7 .0}{7^{2}-5 \times 7+6} =149−35+6=120=\frac{1}{49-35+6}=\frac{1}{20} (7,0)(7,0) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=(dydx)(7,0)(x−x1)y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(7,0)}\left(x-x_{1}\right) বা, y−0=120(x−7)y-0=\frac{1}{20}(x-7) বা, 20y=x−720 y=x-7 ∴x−20y−7=0\therefore \quad x-20 y-7=0 (7,0)(7,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, y−y1=−1(dydx)(7,0)(x−x1)y-y_{1}=-\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(7,0)}}\left(x-x_{1}\right) বা, y−0=−1120(x−7)y-0=-\frac{1}{\frac{1}{20}}(x-7) বা, y=−20(x−7)y=-20(x-7) বা, y=−20(x−7)y=-20(x-7) বা, y=−20x+140y=-20 x+140 ∴20x+y−140=0\therefore 20 \mathrm{x}+\mathrm{y}-140=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, x−20y−7=0x-20 y-7=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ, 20x+y−140=020 x+y-140=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=emxf(x)=e^{m x} ∴a2f(x)+b2f(x)=a2emx+b2emx\therefore \quad a^{2} f(x)+\frac{b^{2}}{f(x)}=a^{2} e^{m x}+\frac{b^{2}}{e^{m x}} ধরি, y=a2emx+b2emxy=a^{2} e^{m x}+\frac{b^{2}}{e^{m x}} ∴dydx=a2memx−b2(emx)−1−1×memx\therefore \quad \frac{d y}{d x}=a^{2} m e^{m x}-b^{2}\left(e^{m x}\right)^{-1-1} \times m e^{m x} =ma2emx−b2memx(emx)2=ma2emx−mb2emx=m a^{2} e^{m x}-\frac{b^{2} m e^{m x}}{\left(e^{m x}\right)^{2}}=m a^{2} e^{m x}-\frac{m b^{2}}{e^{m x}} আবার, d2ydx2=ma2×memx+mb2(emx)−2×memx\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=m a^{2} \times m e^{m x}+m b^{2}\left(e^{m x}\right)^{-2} \times m e^{m x} =a2m2emx+b2m2emx=a^{2} m^{2} e^{m x}+\frac{b^{2} m^{2}}{e^{m x}} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, ma2emx−mb2emx=0m a^{2} e^{m x}-\frac{m b^{2}}{e^{m x}}=0 বা, a2(emx)2−b2emx=0\frac{a^{2}\left(e^{m x}\right)^{2}-b^{2}}{e^{m x}}=0 বা, a2(emx)2−b2=0a^{2}\left(e^{m x}\right)^{2}-b^{2}=0 বা, (emx)2=b2a2\left(e^{m x}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}} বা, emx=bae^{m x}=\frac{b}{a} বা, ln⁡emx=ln⁡ba\ln e^{m x}=\ln \frac{b}{a} বা, mx⁡ln⁡e=ln⁡ba\operatorname{mx} \ln e=\ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} বা, mx×1=ln⁡bam x \times 1=\ln \frac{b}{a} ∴x=1 mln⁡ba\therefore \quad x=\frac{1}{\mathrm{~m}} \ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} x=1mln⁡bax=\frac{1}{m} \ln \frac{b}{a} এর জন্য, d2ydx2=a2m2em×1mln⁡ba+b2m2em×1mln⁡ba\frac{d^2 y}{d x^2}=a^2 m^2 e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}+\frac{b^2 m^2}{e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}} =a2m2ebm+b2m2emn−=a2m2×ba+b2m2ba=a^{2} m^{2} e^{\frac{b}{m}}+\frac{b^{2} m^{2}}{e^{m_{n}^{-}}}=a^{2} m^{2} \times \frac{b}{a}+\frac{b^{2} m^{2}}{\frac{b}{a}} =abm2+abm2=2abm2>0=a b m^{2}+a b m^{2}=2 a b m^{2}>0 ∴\therefore ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া বাবে। নির্ণেয় লঘুমান =a2em×1mln⁡ba+b2em×1mln⁡ba=a^{2} e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}+\frac{b^{2}}{e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}} =a2eln⁡ba+b2eln⁡ba=a2×ba+b2ba=ab+ab2b=ab+ab=a^{2} e^{\ln \frac{b}{a}}+\frac{b^{2}}{e^{\ln \frac{b}{a}}}=a^{2} \times \frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{\frac{b}{a}}=a b+\frac{a b^{2}}{b}=a b+a b =2ab,=2 a b, যেখানে a>0,b>0a>0, b>0 (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন