Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১, g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} দৃশ্যকল্প-২, x=tan⁡2y\mathrm{x}=\tan \sqrt{2 y}

Dhaka · 2023

উত্তর

আমরা জানি, log⁡xa=log⁡xe×log⁡ea=ln⁡alog⁡ex\log_{x} a=\log_{x} e \times \log_{e} a=\frac{\ln a}{\log_{e} x} =ln⁡aln⁡x=\frac{\ln a}{\ln x} \therefore \frac{d}{d x} \log_{x} a=\frac{-\ln a}{(\ln x}^{2}} \times \frac{1}{x} =\frac{-\ln a}{x(\ln x}^{2}}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} ধরি, f(x)=1+2g(x)+3[1−{g(x)}2]f(x)=1+2 g(x)+3\left[1-\{g(x)\}^{2}\right] =1+2sin⁡x+3(1−sin⁡2x)=1+2 \sin x+3\left(1-\sin^{2} x\right) =1+2sin⁡x+3cos⁡2x=1+2 \sin x+3 \cos^{2} x AC=ABcos⁡A+BCcos⁡C\mathrm{AC}=\mathrm{AB} \cos \mathrm{A}+\mathrm{BC} \cos \mathrm{C} ⇒BCcos⁡C=AC−ABcos⁡A\Rightarrow \mathrm{BC} \cos \mathrm{C}=\mathrm{AC}-\mathrm{AB} \cos \mathrm{A} AB=BCcos⁡B+ACcos⁡AA B=B C \cos B+A C \cos A ⇒Bcos⁡B=AB−ACcos⁡A\Rightarrow B \cos B=A B-A C \cos A ⇒f′(x)=2cos⁡x+6cos⁡x⋅(−sin⁡x)\Rightarrow f^{\prime}(x)=2 \cos x+6 \cos x \cdot(-\sin x) =2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=2 \cos x-6 \sin x \cos x চরম মানের জন্য, f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 ⇒2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=0\Rightarrow 2 \cos x-6 \sin x \cos x=0 ⇒2cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\Rightarrow 2 \cos x(1-3 \sin x)=0 ∴2cos⁡x=0\therefore 2 \cos x=0 \quad অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 ⇒x=π2⇒sin⁡x=13\Rightarrow x=\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \sin x=\frac{1}{3} ∴x=sin⁡−113\therefore x=\sin^{-1} \frac{1}{3} আবার, f′′′(x)=−2sin⁡x−6[sin⁡x(−sin⁡x)+cos⁡x⋅cos⁡x]f^{\prime \prime \prime}(x)=-2 \sin x-6[\sin x(-\sin x)+\cos x \cdot \cos x] =−2sin⁡x+6sin⁡2x−6cos⁡2x=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-6 \cos^{2} x =−2sin⁡x+6sin⁡2x−56(1−sin⁡2x)=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-56\left(1-\sin^{2} x\right) =−2sin⁡x+6sin⁡2x−6+6sin⁡2x=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-6+6 \sin^{2} x =12sin⁡2x−2sin⁡x−6=12 \sin^{2} x-2 \sin x-6 ∴f′′(sin⁡−113)=12×(13)2−2×13−6\therefore f^{\prime \prime}\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=12 \times\left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \times \frac{1}{3}-6 =12×19−23−6=12 \times \frac{1}{9}-\frac{2}{3}-6 =43−23−6=4−2−183=−163<0=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=\frac{-16}{3}<0 ∴x=sin⁡−113\therefore \mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{1}{3} বিন্দুতে f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) ফাংশনের চরম মান আছে এবং উক্ত চরম মান, f(sin⁡−113)=1+2×13+3{1−(13)2}.f\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=1+2 \times \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\}. =1+23+3(1−19)=1+\frac{2}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right) =1+23+3×89=1+\frac{2}{3}+3 \times \frac{8}{9} =1+23+83=1+\frac{2}{3}+\frac{8}{3} =3+2+83=\frac{3+2+8}{3} =133=\frac{13}{3}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, x=tan⁡2y\mathrm{x}=\tan \sqrt{2 y} ⇒2y=tan⁡−1x\Rightarrow \sqrt{2 y}=\tan^{-1} x ⇒2j=(tan⁡−1x)2\Rightarrow 2 j=\left(\tan^{-1} x\right)^{2} ⇒2y1=2tan⁡−1x×11+x2\Rightarrow 2 y_{1}=2 \tan^{-1} x \times \frac{1}{1+x^{2}} ⇒(1+x2)2y1=2×tan⁡−1x\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) 2 y_{1}=2 \times \tan^{-1} x ⇒(1+x2)y1=tan⁡−1x\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y_{1}=\tan^{-1} x ⇒(1+x2)y2+2xy1=11+x2\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y_{2}+2 x y_{1}=\frac{1}{1+x^{2}} ⇒(1+x2)2y2+2(1+x2)y1=1\Rightarrow\left(1+x^{2}\right)^{2} y_{2}+2\left(1+x^{2}\right) y_{1}=1 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, | Prosthuti