Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যে সকল ব্যবধিতে [গণিত] ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, 1 ও 3 বিন্দু দুটি বাস্তব সংখ্যাকে তিনটি ব্যবধিতে বিভক্ত করে, [গণিত] এখন, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] এবং [গণিত] ব্যবধিতে ফাংশনটির মান বৃদ্ধি পায় এবং [গণিত] ব্যবধিতে ফাংশনটির মান হাস পায়। (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

যে সকল ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

g(x)=1+x2, h(x)=x3−6x2+9x+5\mathrm{g}(\mathrm{x})=1+\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-6 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}+5

ঢাকা কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=1+x2g(x)=1+x^{2} ধরি, y=sin⁡−1{2−g(x)g(x)}=sin⁡−1{2−(1+x2)1+x2}=sin⁡−11−x21+x2y=\sin^{-1}\left\{\frac{2-g(x)}{g(x)}\right\}=\sin^{-1}\left\{\frac{2-\left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right\}=\sin^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} =sin⁡−11−tan⁡2θ1+tan⁡2θ=\sin^{-1} \frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan^{2} \theta} [ধরি, x=tan⁡θ,∴θ=tan⁡−1xx=\tan \theta, \therefore \theta=\tan^{-1} x =sin⁡−1cos⁡2θ=sin⁡−1sin⁡(π2−2θ)=π2−2tan⁡−1x=\sin^{-1} \cos 2 \theta=\sin^{-1} \sin \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)=\frac{\pi}{2}-2 \tan^{-1} x ∴dydx=−21+x2 (Ans.) \therefore \frac{d y}{d x}=-\frac{2}{1+x^{2}} \text{ (Ans.) }

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x+1+x2,z={g(x)}m=(x+1+x2)m\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}},\mathrm{z}=\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{m}}=\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}} ∴dzdx=ddx(x+1+x2)m\therefore\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}} বা, dzdx=m(x+1+x2)m−1⋅ddx(x+1+x2)\frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1} \cdot \frac{d}{d x}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) বা, dzdx=m(x+1+x2)m−1{1+12(1+x2)−12⋅2x}\frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1}\left\{1+\frac{1}{2}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x\right\} বা, dzdx=m(x+1+x2)m−1{1+x1+x2}\frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1}\left\{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right\} বা, dzdx=m(x+1+x2)m−1(1+x2+x1+x2)\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{m}\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}-1}\left(\frac{\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}+\mathrm{x}}{\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}}\right) বা, dzdx=m(x+1+x2)m1+x2\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{m}}{\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}} বা, dzdx=mz1+x2[∵z=(x+1+x2)m]\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{mz}}{\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}} \quad\left[\because \mathrm{z}=\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}}\right] বা, (1+x2)(dzdx)2=m2z2\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)^{2}=\mathrm{m}^{2} \mathrm{z}^{2} [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, ddx{(1+x2)(dzdx)2}=m2ddx(z2)\frac{d}{d x}\left\{\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2}\right\}=m^{2} \frac{d}{d x}\left(z^{2}\right) বা, (1+x2)ddx(dzdx)2+(dzdx)2ddx(1+x2)=m2⋅2zdzdx\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)^{2} \frac{d}{dx}\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)=\mathrm{m}^{2} \cdot 2 \mathrm{z} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}} বা, (1+x2)2dzdxd2zdx2+(dzdx)2⋅2x=2m2zdzdx\left(1+x^{2}\right) 2 \frac{d z}{d x} \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2} \cdot 2 x=2 m^{2} z \frac{d z}{d x} বা, (1+x2)d2zdx2+xdzdx=m2z[2dzdx\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+x \frac{d z}{d x}=m^{2} z\left[2 \frac{d z}{d x}\right. দ্বারা ভাগ করে]. ∴(1+x2)d2zdx2+xdzdx−m2z=0\therefore\left(1+\mathrm{x}^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{z}}{\mathrm{dx}^{2}}+\mathrm{x} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{z}=0 (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=x3−6x2+9x+5\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-6 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}+5 ∴h′(x)=3x2−12x+9\therefore \mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}-12 \mathrm{x}+9 শর্তমতে, 3x2−12x+9=03 x^{2}-12 x+9=0 বা, x2−4x+3=0x^{2}-4 x+3=0 বা, x2−3x−x+3=0x^{2}-3 x-x+3=0 বা, (x−3)(x−1)=0∴x=1,3(x-3)(x-1)=0 \quad \therefore x=1,3 এখন, 1 ও 3 বিন্দু দুটি বাস্তব সংখ্যাকে তিনটি ব্যবধিতে বিভক্ত করে, x<1,13x<1,13 এখন, x<1x<1 এবং x>3x>3 ব্যবধিতে h′(x)>0h^{\prime}(x)>0 এবং 1313 ব্যবধিতে ফাংশনটির মান বৃদ্ধি পায় এবং 1<x<31<x<3 ব্যবধিতে ফাংশনটির মান হাস পায়। (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন