Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] এর চরমমানসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] রেমমানের জন্য, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] এর জন্য সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে। [গণিত] সর্বনিম্ন মান [গণিত] আবার, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] এর জন্য ও সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে। [গণিত] সর্বনিম্ন মান [গণিত] আবার, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] এর জন্য সর্বোচ্চ মান পাওয়া যাবে। [গণিত] সর্বোচ্চ মান [গণিত] চরমান সমূহ যথাক্রমে = [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

ব্যবধিতে এর চরমমানসমূহ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(z)=tan⁡z,h(u)=u4−23u3−2u2+2uf(z)=\tan z, h(u)=u^4-\frac{2}{3} u^3-2 u^2+2 u

আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল · 2024

উত্তর

lim⁡x→0cos⁡8x−14x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 8 x-1}{4 x^{2}} =lim⁡x→0−(1−cos⁡8x)4x2= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-(1-\cos 8 x)}{4 x^{2}} =lim⁡x→0−2sin⁡24x4x2= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin^{2} 4 x}{4 x^{2}} =lim⁡x→0−sin⁡24x2x= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin^{2} 4 x}{2 x} =lim⁡x→0−sin⁡24x(4x)2×8= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin^{2} 4 x}{(4 x)^{2} \times 8} =−8lim⁡x→0(sin⁡4x4x)2= -8 \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 4 x}{4 x}\right)^{2} =−8(lim⁡4x→0sin⁡4x4x)2= -8\left(\frac{\lim }{4 x \rightarrow 0} \frac{\sin 4 x}{4 x}\right)^{2} =[∵x⋅4x→0]= {[\because x \cdot 4 x \rightarrow 0] } =8(1)2= 8(1)^{2} = -8

উত্তর

দেওয়া আছে, f(z)=tan⁡zf(z)=\tan z f(2x)=tan⁡2xf(2 x)=\tan 2 x f(2x+h)=tan⁡(2x+h)f(2 x+h)=\tan (2 x+h) মূল নিয়মে অন্তরজের নিয়ম হতে পাই, ddxf(2x)=lim⁡h→0f(2x+h)−f(2x)h\frac{d}{d x} f(2 x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2 x+h)-f(2 x)}{h} =lim⁡h→0tan⁡(2x+h)−tan⁡2xh=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x+h)-\tan 2 x}{h} =lim⁡h→0sin⁡(2x+h)cos⁡(2x+h)sin⁡2xcos⁡2x=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x+h)}{\cos (2 x+h)} \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x+h) \cos 2 x-\cos (2 x+h) \sin 2 x}{\cos (2 x+h} \cos 2 x} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x+h-2 x)}{h \cos (2 x+h} \cos 2 x} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin 2 h}{h \cos (2 x+h} \cos 2 x} =lim⁡h→0sin⁡2h2h1cos⁡(2x+h)2cos⁡2x=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin 2 h}{2 h} \frac{1}{\cos (2 x+h)} \frac{2}{\cos 2 x} =2cos⁡2xlim⁡sin⁡2h2h⋅lim⁡1cos⁡(2x+h)=\frac{2}{\cos 2 x} \lim \frac{\sin 2 h}{2 h} \cdot \lim \frac{1}{\cos (2 x+h)} =2cos⁡2x⋅1⋅1cos⁡(2x+0)=\frac{2}{\cos 2 x} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos (2 x+0)} =2cos⁡22x=\frac{2}{\cos^{2} 2 x} ∴f′(2x)=2sec⁡22x Ans \therefore f^{\prime}(2 x) =2 \sec^{2} 2 x \text{ Ans }

উত্তর

দেওয়া আছে, h(u)=u4−23u3−2u2+2uh(u)=u^{4}-\frac{2}{3} u^{3}-2 u^{2}+2 u ∴h(x)=4x4−23x3−2x2+2x\therefore h(x)=4 x^{4}-\frac{2}{3} x^{3}-2 x^{2}+2 x ∴h′(x)=4x3−2x2−4x+2\therefore h^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-4 x+2 Δx:h′′(x)=12x2−4x−4\Delta x: h^{\prime \prime}(x)=12 x^{2}-4 x-4 রেমমানের জন্য, h′(x)=0h^{\prime}(x)=0 ⇒4x3−2x2−4x+2=0\Rightarrow 4 x^{3}-2 x^{2}-4 x+2=0 ⇒2x3−x2−2x+1=0\Rightarrow 2 x^{3}-x^{2}-2 x+1=0 ⇒2x3−2x2+x2−x−x+1=0\Rightarrow 2 x^{3}-2 x^{2}+x^{2}-x-x+1=0 ⇒2x2(x−1)+x(x−1)−1(x−1)=0\Rightarrow 2 x^{2}(x-1)+x(x-1)-1(x-1)=0 ⇒(x−1)(2x2+x−1)=0\Rightarrow (x-1)\left(2 x^{2}+x-1\right)=0 ⇒(x−1)(2x2+2x−x−1)=0\Rightarrow(x-1)\left(2 x^{2}+2 x-x-1\right)=0 ⇒(x−1){2x(x+1)−1(x+1)}=0\Rightarrow(x-1)\{2 x(x+1)-1(x+1)\}=0 ⇒(x−1)(x+1)(2x−1)=0\Rightarrow(x-1)(x+1)(2 x-1)=0 x−1=0;x+1=0;2x−1=0x-1=0 ; \quad x+1=0 ; \quad 2 x-1=0 x=1x=−1x=12x=1 \quad x=-1 \quad x=\frac{1}{2} x=1x=1 এর জন্য, h′′(1)=12.12−4.1−4=4>0\quad h^{\prime \prime}(1)=12.1^{2}-4.1-4=4>0 ∴x=1\therefore x=1 এর জন্য সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =h(1)=14−23.13−2.12+2.1=13=h(1)=1^{4}-\frac{2}{3} .13-2.1^{2}+2.1=\frac{1}{3} আবার, x=−1x=-1 এর জন্য, h′′(−1)=12⋅(−1)2−4⋅(−1)−4=1270h^{\prime \prime}(-1)=12 \cdot(-1)^{2}-4 \cdot(-1)-4=1270 ∴x=−1\therefore x=-1 এর জন্য ও সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =h(−1)=(−1)4−23(−1)3−2⋅(−1)2+2⋅(−1)=h(-1)=(-1)^{4}-\frac{2}{3}(-1)^{3}-2 \cdot(-1)^{2}+2 \cdot(-1) =1+23−2−2=−712=1+\frac{2}{3}-2-2=\frac{-7}{12} আবার, x=12x=\frac{1}{2} এর জন্য, h′′(12)=12⋅(12)2−4⋅12−4=−3<0h^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=12 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2}-4=-3<0 ∴x=12\therefore x=\frac{1}{2} এর জন্য সর্বোচ্চ মান পাওয়া যাবে। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান =h(12)=42⋅(12)4−23(12)3−2⋅(12)2+2⋅12=h\left(\frac{1}{2}\right) =42 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2 \cdot \frac{1}{2} =116−112−12+1=2348=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1=\frac{23}{48} চরমান সমূহ যথাক্রমে = 13,−712,2318\frac{1}{3}, \frac{-7}{12}, \frac{23}{18}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন