Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প ২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প ২ হতে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ u(x)=cos⁡(z)u(x)=\cos (z) এবং v(x)=xsin⁡−1xv(x)=x^{\sin -1} x দৃশ্যকা-২: x=tan⁡(z)x=\tan (z) এবং y=tan⁡(mz)y=\tan (m z)

নটরডেম কলেজ · 2024

উত্তর

ধরি, f(t)=e−3t\mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-3 \mathrm{t}} ∴f(t+h)=e−3(t+h)=e−3t−3h\therefore f(t+h)=e^{-3(t+h)}=e^{-3 t-3 h} মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে, ddt{f(t)}=lim⁡h→0f(t+h)−f(t)h\frac{d}{d t}\{f(t)\}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} ∴ddt(e−3t)=lim⁡h→0e−3t−3h−e−3th=lim⁡h→0e−3t(e−3h−1)h\therefore \frac{d}{d t}\left(e^{-3 t}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 t-3 h}-e^{-3 t}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 t}\left(e^{-3 h}-1\right)}{h} =lim⁡h→0e−3th{1−3h1!+(−3h)22!+h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 t}}{h}\left\{1-\frac{3 h}{1!}+\frac{(-3 h)^{2}}{2!}+h\right. এর উর্ধ্বঘাতবিশিষ্ট পদসমূহ -1} =lim⁡h→0e−3t(−3+9h2+h=\lim_{h \rightarrow 0} e^{-3 t}\left(-3+\frac{9 h}{2}+h\right. এর উর্ধ্বঘাতবিশিষ্ট পদসমূহ ) =−3e−3t=-3 \mathrm{e}^{-3 \mathrm{t}} (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, v(x)=xsin⁡−1xv(x)=x^{\sin^{-1} x} বা, ln⁡v=sin⁡−1x⋅ln⁡x\ln v=\sin^{-1} x \cdot \ln x বা, 1vdvdx=sin⁡−1xx+ln⁡x1−x2\frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\frac{\sin^{-1} x}{x}+\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} [অন্তরীকরণ করে] ∴dvdx=xsin⁡−1x(sin⁡−1xx+ln⁡x1−x2)\therefore \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{\sin^{-1} \mathrm{x}}\left(\frac{\sin^{-1} \mathrm{x}}{\mathrm{x}}+\frac{\ln \mathrm{x}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}}\right) আবার, u(x)=cos⁡z=cos⁡(cot⁡−1r(x))=cos⁡(cot⁡−11−x1+x)u(x)=\cos z=\cos \left(\cot^{-1} \sqrt{r(x)}\right)=\cos \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) ধরি, m(x)={u(x)}4=cos⁡4{cot⁡−11−x1+x}m(x)=\{u(x)\}^{4}=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\} এবং x=cos⁡2θx=\cos 2 \theta ∴m(x)=cos⁡4{cot⁡−11−cos⁡2θ1+cos⁡2θ}\therefore \mathrm{m}(\mathrm{x})=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}}\right\} =cos⁡4{cot⁡−12sin⁡2θ2cos⁡2θ}=cos⁡4{cot⁡−1⋅tan⁡θ}=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^{2} \theta}{2 \cos^{2} \theta}}\right\}=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \cdot \tan \theta\right\} =cos⁡4{cot⁡−1cot⁡(π2−θ)}=cos⁡4(π2−θ)=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}=\cos^{4}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =sin⁡4θ=14(2sin⁡2θ)2=14(1−cos⁡2θ)2=\sin^{4} \theta=\frac{1}{4}\left(2 \sin^{2} \theta\right)^{2}=\frac{1}{4}(1-\cos 2 \theta)^{2} =14(1−x)2[∵x=cos⁡2θ]=\frac{1}{4}(1-x)^{2}[\because x=\cos 2 \theta] ∴m(x)=cos⁡4{cot⁡−11−g(x)1+g(x)}=14(1−x)2\therefore \mathrm{m}(\mathrm{x})=\cos^{4}\left\{\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-\mathrm{g}(\mathrm{x})}{1+\mathrm{g}(\mathrm{x})}}\right\}=\frac{1}{4}(1-\mathrm{x})^{2} dmdx=14⋅2(1−x)(−1)=12(x−1)\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{4} \cdot 2(1-\mathrm{x})(-1)=\frac{1}{2}(\mathrm{x}-1) প্রদত্ত রাশি, y={u(x)}4+v(x)y=\{u(x)\}^{4}+v(x) বা, y=m(x)+v(x)y=m(x)+v(x) বা, dydx=dmdx+dvdx\frac{d y}{d x}=\frac{d m}{d x}+\frac{d v}{d x} ∴dydx=12(x−1)+xsin⁡−1x(sin⁡−1xx+ln⁡x1−x2)\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}(x-1)+x^{\sin^{-1} x}\left(\frac{\sin^{-1} x}{x}+\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) (Ans.)$

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡−1x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan^{-1} \mathrm{x} ∴y=tan⁡{mf(x)}=tan⁡(mtan−1x)\therefore \mathrm{y}=\tan \{\mathrm{mf}(\mathrm{x})\}=\tan \left(\mathrm{mtan}^{-1} \mathrm{x}\right) বা, y1=sec⁡2(mtan⁡−1x)⋅m×11+x2y_{1}=\sec^{2}\left(m \tan^{-1} x\right) \cdot m \times \frac{1}{1+x^{2}} বা, (1+x2)y1=msec⁡2(mtan⁡−1x)\left(1+x^{2}\right) y_{1}=\operatorname{msec}^{2}\left(\operatorname{mtan}^{-1} x\right) বা, (1+x2)y1=m{1+tan⁡2(mtan⁡−1x)}\left(1+x^{2}\right) y_{1}=m\left\{1+\tan^{2}\left(m \tan^{-1} x\right)\right\} বা, (1+x2)y1=m(1+y2)\left(1+x^{2}\right) y_{1}=m\left(1+y^{2}\right) বা, (1+x2)⋅y2+y1(2x)=m(2yy1)\left(1+x^{2}\right) \cdot y_{2}+y_{1}(2 x)=m\left(2 y y_{1}\right) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন