Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] ফাংশনের চরম মান নির্ণয় কর। যেখানে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] ধরি, [গণিত] সর্বেোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] অথবা [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] আবার, [গণিত] বন্দিুতে [গণিত] তে ফাংশনের সর্বনিম্ন বিদ্যমান। [গণিত] সর্বনিম্ব [গণিত] (Ans.) আবার, [গণিত] বিন্দুতে, [গণিত] অতএব, [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] এর সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। [গণিত] সর্বোচ্চ মান [গণিত] (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

ব্যবধিতে ফাংশনের চরম মান নির্ণয় কর। যেখানে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x

নটরডেম কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x,y)=y2−4x−6y+20=0g(x, y)=y^{2}-4 x-6 y+20=0 বা, 2ydydx−4−6dydx=02 y \frac{d y}{d x}-4-6 \frac{d y}{d x}=0 বা, ydydx−2−3dydx=0y \frac{d y}{d x}-2-3 \frac{d y}{d x}=0 বা, (y−3)dydx=2∴dydx=2y−3(\mathrm{y}-3) \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2 \quad \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{\mathrm{y}-3} (3,2)(3,2) বিন্দুতে, dydx=22−3=2−1=−2\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{2-3}=\frac{2}{-1}=-2 ∴(3,2)\therefore(3,2) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−2=−2(x−3)\mathrm{y}-2=-2(\mathrm{x}-3) বা, y−2=−2x+6∴2x+y−8=0\mathrm{y}-2=-2 \mathrm{x}+6 \quad \therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-8=0 (Ans.) এবং অভিলম্বের সমীকরণ, (x−3)+(−2)(y−2)=0(x-3)+(-2)(y-2)=0 বা, x−3−2y+4=0∴x−2y+1=0x-3-2 y+4=0 \therefore x-2 y+1=0 (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং xy+yx=f(sin⁡−1ab)x^{y}+y^{x}=f\left(\sin^{-1} a^{b}\right) বা, xy+yx=sin⁡(sin⁡−1ab)x^{y}+y^{x}=\sin \left(\sin^{-1} a^{b}\right) বা, xy+yx=abx^{y}+y^{x}=a^{b} বা, u+v=abu+v=a^{b} যেখানে, u=xyu=x^{y} এবং v=yxv=y^{x} এখন, u=xyu=x^{y} বा, ln⁡u=yln⁡x\ln u=y \ln x বা, 1u⋅dudx=y⋅1x+ln⁡x⋅dydx\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}=y \cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot \frac{d y}{d x} বা, dudx=xy(yx+ln⁡x⋅dydx)\frac{d u}{d x}=x^{y}\left(\frac{y}{x}+\ln x \cdot \frac{d y}{d x}\right) এবং v=yxv=y^{x} বা, ln⁡v=xln⁡y\ln v=x \ln y বা, 1v⋅dvdx=x⋅1y⋅dydx+ln⁡y\frac{1}{v} \cdot \frac{d v}{d x}=x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}+\ln y বা, dvdx=yx(xydydx+ln⁡y)\frac{d v}{d x}=y^{x}\left(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}+\ln y\right) (i) নং কে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে. পাই, dudx+dvdx=ddx(ab)\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{a}^{b}\right) বা, xy(yx+ln⁡xdydx)+yx(xydydx+ln⁡y)=0x^{y}\left(\frac{y}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}\right)+y^{x}\left(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}+\ln y\right)=0 বা, yxy−1+xy⋅ln⁡xdydx+xyx−1dydx+yxln⁡y=0y x^{y-1}+x^{y} \cdot \ln x \frac{d y}{d x}+x y^{x-1} \frac{d y}{d x}+y^{x} \ln y=0 বা, (xyln⁡x+xyx−1)dydx=−(yxy−1+yxln⁡y)\left(x^{y} \ln x+x y^{x-1}\right) \frac{d y}{d x}=-\left(y x^{y-1}+y^{x} \ln y\right) ∴dydx=−yxy−1+yxln⁡yxyln⁡x+xyx−1 (Ans.) \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\mathrm{yx}^{\mathrm{y}-1}+\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \ln \mathrm{y}}{\mathrm{x}^{y} \ln \mathrm{x}+\mathrm{xy}^{x-1}} \text{ (Ans.) }

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x ∴1+2 g(x)+3[1−{g(x)}2]=1+2sin⁡x+3(1−sin⁡2x)\therefore 1+2 \mathrm{~g}(\mathrm{x})+3\left[1-\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{2}\right]=1+2 \sin \mathrm{x}+3\left(1-\sin^{2} \mathrm{x}\right) =1+2sin⁡x+3cos⁡2x=1+2 \sin x+3 \cos^{2} x ধরি, f(x)=1+2sin⁡x+3cos⁡2xf(x)=1+2 \sin x+3 \cos^{2} x f′(x)=2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡xf^{\prime}(x)=2 \cos x-6 \sin x \cos x সর্বেোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 ∴2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=0\therefore 2 \cos x-6 \sin x \cos x=0 বা, 2cos⁡x(1−3sin⁡x)=02 \cos x(1-3 \sin x)=0 ∴cos⁡x=0\therefore \cos x=0 অর্থাৎ, x=cos⁡−10=π2[∵0≤x≤π2]x=\cos^{-1} 0=\frac{\pi}{2}\left[\because 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right] অথবা sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} অর্থাৎ, x=sin⁡−1(13)x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) আবার, f′′(x)=−2sin⁡x−6(sin⁡xddxcos⁡x+cos⁡xddxsin⁡x)f^{\prime \prime}(x)=-2 \sin x-6\left(\sin x \frac{d}{d x} \cos x+\cos x \frac{d}{d x} \sin x\right) =−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)=−2sin⁡x−6cos⁡2x=-2 \sin x-6\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right)=-2 \sin x-6 \cos 2 x x=π2\mathrm{x}=\frac{\pi}{2} বন্দিুতে f′′(x)=−2+6=4>0\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=-2+6=4>0 x=π2\mathrm{x}=\frac{\pi}{2} তে ফাংশনের সর্বনিম্ন বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ব =1+2(1)+3(0)2=3=1+2(1)+3(0)^{2}=3 (Ans.) আবার, x=sin⁡−113\mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{1}{3} বিন্দুতে, f′′(x)=−23−6{1−2(13)2}[∵cos⁡2x=1−2sin⁡2x]f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2}{3}-6\left\{1-2\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\}\left[\because \cos 2 x=1-2 \sin^{2} x\right] =−23−6(1−29)=−23−6⋅79=−163<0=-\frac{2}{3}-6\left(1-\frac{2}{9}\right)=-\frac{2}{3}-6 \cdot \frac{7}{9}=-\frac{16}{3}<0 অতএব, x=sin⁡−1⋅(13)x=\sin^{-1} \cdot\left(\frac{1}{3}\right) বিন্দুতে f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) এর সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান =1+2⋅13+3(1−19)=133=1+2 \cdot \frac{1}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{13}{3} (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন