Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর?

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] চরম মানের জন্য, [গণিত] এর জন্য [গণিত] এর লঘুমান বিদ্যামান। [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর চরম মান নির্ণয় কর?

উদ্দীপক

h (x) = cosx এবং p(x) = (x2+1)tan⁡−1x−xx^2 + 1) \tan^{-1}x - x

Comilla · 2022

উত্তর

দেওয়া আছে, p(x)=(x2+1)tan⁡−1x−x⇒ddxp(x)=ddx(x2+1)tan⁡−1x−ddxx=(x2+1)⋅11+x2+tan⁡−1x⋅(2x)−1=1+2x⋅tan⁡−1x−1=2xtan−1x\begin{aligned} \mathrm{p}(\mathrm{x}) & =\left(\mathrm{x}^2+1\right) \tan^{-1} \mathrm{x}-\mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{p}(\mathrm{x}) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^2+1\right) \tan^{-1} \mathrm{x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{x} \\ & =\left(\mathrm{x}^2+1\right) \cdot \frac{1}{1+\mathrm{x}^2}+\tan^{-1} \mathrm{x} \cdot(2 \mathrm{x})-1 \\ & =1+2 \mathrm{x} \cdot \tan^{-1} \mathrm{x}-1 \\ & =2 \mathrm{xtan}^{-1} \mathrm{x}\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=cosxh (x) = cosx  L.H.S =lim⁡x→0h(0)−2h(x)+cos⁡2xx2=lim⁡x→0cos⁡x−2cos⁡x+cos⁡2xx2=lim⁡x→01+cos⁡2x−2cos⁡xx2=lim⁡x→02cos⁡x2x−2cos⁡xx2=lim⁡x→0−2cos⁡x(1−cos⁡x)x2=lim⁡x→0−2cos⁡x⋅2sin⁡2x2x2=−4lim⁡x→0cos⁡x⋅lim⁡xx2x2=−4cos⁡0⋅lim⁡x2→σ(sin⁡x22)2⋅14=−4⋅1⋅12⋅14=−1\begin{aligned}\text{ L.H.S } & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{h(0)-2 h(x)+\cos 2 x}{x^2} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-2 \cos x+\cos 2 x}{x^2} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos 2 x-2 \cos x}{x^2} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x^2 x-2 \cos x}{x^2} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \cos x(1-\cos x)}{x^2} \\& =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \cos x \cdot 2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \\& =-4 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x \cdot \lim_x \frac{x}{2}}{x^2} \\& =-4 \cos 0 \cdot \lim_{\frac{x}{2} \rightarrow \sigma}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} \\& =-4 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} \\& =-1\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=cos⁡x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}  ধরি , y=3h(π2−x)+3h(x)⇒y=3cos⁡(π2−x)+3cos⁡x⇒y=3sin⁡x+3cos⁡x⇒y′=3cos⁡x−3sin⁡x⇒y′′=−3sin⁡x−3cos⁡x\begin{aligned}& \text{ ধরি , } y=\sqrt{3} h\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+3 h(x) \\ & \Rightarrow \mathrm{y}=\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)+3 \cos \mathrm{x} \\ & \Rightarrow \mathrm{y}=\sqrt{3} \sin \mathrm{x}+3 \cos \mathrm{x} \\ & \Rightarrow \mathrm{y}^{\prime}=\sqrt{3} \cos \mathrm{x}-3 \sin \mathrm{x} \\ & \Rightarrow \mathrm{y}^{\prime \prime}=-\sqrt{3} \sin \mathrm{x}-3 \cos \mathrm{x} \end{aligned} চরম মানের জন্য, f′(x)=0⇒3cos⁡x−3sin⁡x=0⇒3sin⁡x=3cos⁡x⇒sin⁡xcos⁡x=33=13⇒tan⁡x=tan⁡30∘tan⁡x=tan⁡(180∘+30∘)∴x=30∘,210∘f′′(30∘)−3sin⁡30∘−3cos⁡30∘=−3⋅12−3⋅32=−432=−23<0\begin{aligned}& f^{\prime}(x)=0 \\& \Rightarrow \quad \sqrt{3} \cos x-3 \sin x=0 \\& \Rightarrow \quad 3 \sin x=\sqrt{3} \cos x \\& \Rightarrow \quad \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\& \Rightarrow \quad \tan x=\tan 30^{\circ} \\& \quad \tan x=\tan \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right) \\& \therefore \quad x=30^{\circ}, 210^{\circ} \\& \mathrm{f}^{\prime \prime}\left(30^{\circ}\right) \quad-\sqrt{3} \sin 30^{\circ}-3 \cos 30^{\circ} \\&=-\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\&=-\frac{4 \sqrt{3}}{2} \\&=-2 \sqrt{3}<0\end{aligned} x=30∘x=30^{\circ} এর জন্য f(x)f(x) এর গুরুমান বিদ্যামন। আবার, f′′(210∘)=−3sin⁡2×0∘2−3cos⁡210∘=−3sin⁡(180∘+30∘)−3cos⁡(180∘+30∘)=−3(−sin⁡30∘)−3cos⁡30∘)12=−3⋅(−12)−3⋅(32)=432=23>0\begin{aligned} \mathrm{f}^{\prime \prime}\left(210^{\circ}\right) & =-\sqrt{3} \sin 2 \times 0^{\circ} 2-3 \cos 210^{\circ} \\ & =-\sqrt{3} \sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)-3 \cos \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ & \left.=-\sqrt{3}\left(-\sin 30^{\circ}\right)-3 \cos 30^{\circ}\right) 12 \\ & =-\sqrt{3} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-3 \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ & =\frac{4 \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}>0\end{aligned} x=210∘x=210^{\circ} এর জন্য f(x)f(x) এর লঘুমান বিদ্যামান। f(x) এর লঘুমান= =f(210∘)=3sin⁡210∘+3cos⁡210∘=3(−12)+3(−32)=−432=−23\begin{aligned} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \text{ এর লঘুমান= } & =\mathrm{f}\left(210^{\circ}\right) \\ & =\sqrt{3} \sin 210^{\circ}+3 \cos 210^{\circ} \\ & =\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ & =-\frac{4 \sqrt{3}}{2}=-2 \sqrt{3}\end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন