Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, g(x) = 0 বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, বক্ররেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) (1) নং কে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] মরে করি, যেকোনো স্পর্শবিন্দু [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] এব: [গণিত] বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] বিন্দুটি (i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত হওয়ায়, [গণিত] .. (iii) [গণিত] (ii) নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] নং ব্যবহার করে] এখন, (iv) নং স্পর্শকের সমীকরণে, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, [গণিত] স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল [গণিত] যা ধ্রুবক। অর্থাৎ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, g(x) = 0 বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্…

উদ্দীপক

f(x)=a5x,g(x)=x2a+y2a−1f(x)=a^{5 x}, g(x)=\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1.

Jessore · 2023

উত্তর

lim⁡x→ax12−a12x−a=lim⁡x→a(x12)−(a12)x−a\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} =\lim_{x \rightarrow a} \frac{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)-\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} =lim⁡x→a(x)3−(a)3x−a=\lim_{x \rightarrow a} \frac{(\sqrt{x})^{3}-(\sqrt{a})^{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} =3⋅(a)3−1[∵lim⁡x→pxn−pnx−p=npn−1]=3 \cdot(\sqrt{a})^{3-1}\left[\because \lim_{x \rightarrow p} \frac{x^{n}-p^{n}}{x-p}=n p^{n-1}\right] =3(a)2=3a=3(\sqrt{a})^{2}=3 a নির্ণেয় মান : 3a

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a5xf(x)=a^{5 x} f(x+h)=a5(x+h)f(x+h)=a^{5(x+h)} অন্তরজের মূল নিয়ম অনুযায়ী, f′(x)=ddxf(x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) =Lt⁡h→0f(x+h)−f(x)h=\operatorname{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{f(\mathrm{x}+\mathrm{h})-f(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} =Lt⁡h→0a5(x+h)−a5xh=\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{a^{5(x+h)}-a^{5 x}}{h} =Lth→0a5x(a5h−1)h=\mathrm{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{a}^{5 x}\left(a^{5 h}-1\right)}{h} =a5xLt⁡h→0{1+5hln⁡a+(5hln⁡a)22!+(5hln⁡a)33!+……}−1h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{\left\{1+5 h \ln a+\frac{(5 h \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{(5 h \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}-1}{h} =a5xLt⁡h→0h{5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……}h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{h\left\{5 \ln a+\frac{h(5 \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{h^{2}(5 \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}}{h} =a5xLth→0[5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……]=\mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \underset{\mathrm{h} \rightarrow 0}{\mathrm{Lt}}\left[5 \ln \mathrm{a}+\frac{\mathrm{h}(5 \ln \mathrm{a})^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{h}^{2}(5 \ln \mathrm{a})^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right] =a5x[5ln⁡a+0+0+=a^{5 x}[5 \ln a+0+0+ =5a5xln⁡a=5 a^{5 x} \ln a নির্ণেয় অন্তরজ : 5a5xln⁡5 \mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \ln a.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2a+y2a−1g(x)=\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1 আবার, বক্ররেখার সমীকরণ, g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, x2a+y2a−1=0\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1=0 বা, x2a+y2a=1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 a}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 a}}=1 বা, x+y=2a\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2 a}
…..(i)(1)\ldots.. (i) (1)
নং কে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(x+y)=ddx(2a)\frac{d}{d x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{d x}(\sqrt{2 a}) বা, ddx(x12)+ddx(y12)=0\frac{d}{d x}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0 বা, 12x−12+12y12−1dydx=0\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}-1} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1x+1ydydx=0\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1ydydx=−1x\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}} dydx=−yx\frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} মরে করি, যেকোনো স্পর্শবিন্দু (x1,y1)\left(x_{1}, y_{1}\right) ∴(x1,y1)\therefore \quad\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুতে dydx=−y1x1\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\sqrt{\mathrm{y}_{1}}}{\sqrt{\mathrm{x}_{1}}} এব: (x1,y1)\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=dydx(x−x1)=−y1x1(x−x1)y-y_{1}=\frac{d y}{d x}\left(x-x_{1}\right)=-\frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}}\left(x-x_{1}\right) বা, x1y−x1y1=−y1x+x1y1\sqrt{x_{1}} y-\sqrt{x_{1}} y_{1}=-\sqrt{y_{1}} x+x_{1} \sqrt{y_{1}} বা, x1y+xy1=x1y1+x1y1\sqrt{x_{1}} y+x \sqrt{y_{1}}=\sqrt{x_{1}} y_{1}+x_{1} \sqrt{y_{1}} বা, xx1+yy1=x1+y1\frac{x}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}=\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}
……(ii)[\ldots\ldots (ii) [
উভয়পক্ষকে x1y1\sqrt{\mathrm{x}_{1}} \sqrt{\mathrm{y}_{1}} দ্বারা ভাগ করে] (x1,y1)\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুটি (i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত হওয়ায়, x1+y1=2a\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}=\sqrt{2 a} ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) ∴\therefore (ii) নং সমীকরণ হতে পাই, xx1+yy1=2a……(iv)[(iii)\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}_{1}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{y}_{1}}}=\sqrt{2 \mathrm{a}} \ldots \ldots (iv) [(iii) নং ব্যবহার করে] এখন, (iv) নং স্পর্শকের সমীকরণে, y=0y=0 হলে, xx অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, x=x12ax=\sqrt{x_{1}} \sqrt{2 a} x=0x=0 হলে, yy অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, y=y12ay=\sqrt{y_{1}} \sqrt{2 a} ∴\therefore \quad স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল =2ax1+2ay1=\sqrt{2 a} \sqrt{x_{1}}+\sqrt{2 a} \sqrt{y_{1}} =2a(x1+y1)=\sqrt{2 a}\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}\right) =2a×2a=\sqrt{2 a} \times \sqrt{2 a} =(2a)2=2a;=(\sqrt{2 a})^{2}=2 a ; যা ধ্রুবক। অর্থাৎ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন