Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের জন্য, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য [গণিত] এর ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান। ক্ষুদ্রতম মান, [গণিত] নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম মান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

F(x)=ln⁡(x)F(x)=\ln (x)

Dinajpur · 2021

উত্তর

lim⁡x→0sin⁡axtan⁡bx\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\tan b x} =lim⁡x→0sin⁡axsin⁡bxcos⁡bx=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\frac{\sin b x}{\cos b x}} =lim⁡x→0sin⁡axcos⁡bxsin⁡bx=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x \cos b x}{\sin b x} =lim⁡x→0sin⁡axx⋅xsin⁡bx⋅cos⁡bx=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{x} \cdot \frac{x}{\sin b x} \cdot \cos b x =a⋅1blim⁡x→0sin⁡axx⋅lim⁡x→0bxsin⁡bx⋅lim⁡x→0cos⁡bx=a \cdot \frac{1}{b} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{b x}{\sin b x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \cos b x =ab⋅1⋅1⋅1=ab=\frac{a}{b} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1=\frac{a}{b} নির্ণেয় মানঃ ab\frac{a}{b}

উত্তর

দেওয়া আছে, F(x)=ln⁡(x)F(x)=\ln (x) ধরি, y=e2F(x)+(xx)xy=e^{2 F(x)}+\left(x^{x}\right)^{x} =e2ln⁡x+xx2=e^{2 \ln x}+x^{x^{2}} =eln⁡x2+xx2=e^{\ln x^{2}}+x^{x^{2}} ∴y=x2+xx2\therefore y=x^{2}+x^{x^{2}} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(x2+xx2)dydx\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^{2}+x^{x^{2}}\right) \frac{d y}{d x} ⇒dydx=ddxx2+ddxxx2dydx\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} x^{2}+\frac{d}{d x} x^{x^{2}} \frac{d y}{d x} ⇒dydx=2x+dudx\Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x+\frac{d u}{d x} যেখানে, u=xx2u=x^{x^{2}} এখন, u=xx2u=x^{x^{2}} ⇒ln⁡u=ln⁡xx2\Rightarrow \ln u=\ln x^{x^{2}} ⇒ln⁡u=x2ln⁡x\Rightarrow \ln u=x^{2} \ln x ⇒ddxln⁡u=ddx(x2ln⁡x)\Rightarrow \frac{d}{d x} \ln u=\frac{d}{d x}\left(x^{2} \ln x\right) ⇒1ududx=x2ddxln⁡x+ln⁡xddxx2=x21x+\Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=x^{2} \frac{d}{d x} \ln x+\ln x \frac{d}{d x} x^{2}=x^{2} \frac{1}{x}+ 2xln⁡x=x+2xln⁡x2 x \ln x=x+2 x \ln x ⇒dudx=u(x+2xln⁡x)=xx2(x+2xln⁡x)\Rightarrow \frac{d u}{d x}=u(x+2 x \ln x)=x^{x^{2}}(x+2 x \ln x) (1) নং এ dudx\frac{d u}{d x} এর মান বসিয়ে পাই, dudx=2x+xx2(x+2xln⁡x)\frac{d u}{d x}=2 x+x^{x^{2}}(x+2 x \ln x) নির্ণেয় অন্তরজঃ 2x+xx2(x+2xln⁡x)2 x+x^{x^{2}}(x+2 x \ln x)

উত্তর

দেওয়া আছে, F(x)=ln⁡(x)F(x)=\ln (x) ধরি, g(x)=eF(x)F(x)=eln⁡xln⁡x=xln⁡xg(x)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{F}(\mathrm{x})}}{\mathrm{F}(\mathrm{x})}=\frac{e^{\ln x}}{\ln x}=\frac{x}{\ln x} g′(x)=ln⁡xddxx−xddxln⁡x(ln⁡x)2g^{\prime(x)}=\frac{\ln x \frac{d}{d x} x-x \frac{d}{d x} \ln x}{(\ln x)^{2}} g′′(x)=(ln⁡x)2ddx(ln⁡x−1)−(ln⁡x−1)ddx(ln⁡x)2(ln⁡x)4=(ln⁡x)21x−(ln⁡x−1)2ln⁡x1x(ln⁡x)4g^{\prime \prime(x)}=\frac{(\ln x)^{2} \frac{d}{d x}(\ln x-1)-(\ln x-1) \frac{d}{d x}(\ln x)^{2}}{(\ln x)^{4}}=\frac{(\ln x)^{2} \frac{1}{x}-(\ln x-1) 2 \ln x \frac{1}{x}}{(\ln x)^{4}} বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের জন্য, g′(x)=0g^{\prime(x)}=0 \frac{\ln x-1}{(\ln x}^{2}}=0 ln⁡x−1=0\ln x-1=0 ln⁡x=1\ln x=1 ln⁡x=ln⁡e\ln x=\ln e x=ex=e এখন, x=ex=e হলে, g′′(e)=(ln⁡e)212−(ln⁡e−1)⋅2ln⁡e⋅1e(ln⁡e)4g^{\prime \prime}(e)=\frac{(\ln e)^{2} \frac{1}{2}-(\ln e-1) \cdot 2 \ln e \cdot \frac{1}{e}}{(\ln e)^{4}} =1⋅1e−01=1e>0=\frac{1 \cdot \frac{1}{e}-0}{1}=\frac{1}{e}>0 x=ex=e এর জন্য g(x)g(x) এর ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান। ক্ষুদ্রতম মান, g(e)=eln⁡e=e1=eg(e)=\frac{e}{\ln e}=\frac{e}{1}=e নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম মান ee
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন