Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

In y = u হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] 2 u y 2 + 2y1 (2 [গণিত] u–1) = 0.

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং, [গণিত] (i) নং থেকে [গণিত] এখন, (ii) নং থেকে, [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

In y = u হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, 2 u y 2 + 2y1 (2 u–1) …

উদ্দীপক

h(x)=cos⁡3x,u=tan⁡−12xh(x)= \cos 3x, u = \tan^{-1}2x

Rajshahi · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 3 x}{x^2} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 \cdot\left(\frac{3 x}{2}\right)}{x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3 x}{2}}{x^2} \quad\left[\begin{array}{c}x \rightarrow 0 \text{ হলে } \\ \frac{3 x}{2} \rightarrow 0<\text{ হবে }\end{aligned}\right] \\ & =\frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\frac{3 x}{2}} \times \lim_{\frac{3 x}{2}} \frac{\sin \frac{3 x}{2}}{2} \times \frac{3 x}{2} \times \frac{3}{2} \times 2 \\ & =1 \times 1 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 2 \\ & =\frac{9}{2} \mathrm{Ans} \\ & \end{aligned} \end{array}\end{array}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=cos⁡3xh(x) = \cos 3x মূল নিয়মের সংগানুসারে, h′(x)=ddx h(x)=lim⁡h→0cos⁡3(x+h)−cos⁡3xh=lim⁡h→01 h{cos⁡(3x+3 h)−cos⁡3x}=lim⁡h→01 h2⋅sin⁡3x+3 h+3x2sin⁡3x−3x−3 h2=lim⁡h→02 hsin⁡6x+3 h2sin⁡−3 h2=lim⁡h→0sin⁡6x+3 h2×lim⁡h→0sin⁡(−3 h2)(−3 h2)×−3h2×2=sin⁡6x+02×1×−32×2=−3sin⁡3x( Ans )\begin{aligned} & \mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{d}{d x} \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\cos 3(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\cos 3 \mathrm{x}}{\mathrm{h}} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}}\{\cos (3 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h})-\cos 3 \mathrm{x}\} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}} 2 \cdot \sin \frac{3 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}+3 \mathrm{x}}{2} \sin \frac{3 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}-3 \mathrm{~h}}{2} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{2}{\mathrm{~h}} \sin \frac{6 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}}{2} \sin \frac{-3 \mathrm{~h}}{2} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \sin \frac{6 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}}{2} \times \lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{-3 \mathrm{~h}}{2}\right)}{\left(\frac{-3 \mathrm{~h}}{2}\right)} \times \frac{-3 h}{2} \times 2 \\ & =\sin \frac{6 \mathrm{x}+0}{2} \times 1 \times \frac{-3}{2} \times 2 \\ & =-3 \sin 3 \mathrm{x}(\text{ Ans })\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, u=tan⁡−1(2x)⇒tan⁡u=2x……..(i)u=\tan^{-1}(2 x) \Rightarrow \tan u=2 x \ldots\ldots.. (i) এবং, ln⁡y=u\ln y=u ⇒ln⁡y=tan⁡−12x⇒1y⋅y1=1×21+4x2⇒y1(1+4x2)=2y⇒y1(0+8x)+(1+4x+y2=2y\begin{aligned}& \Rightarrow \ln y=\tan^{-1} 2 x \\& \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y_1=\frac{1 \times 2}{1+4 x^2} \\& \Rightarrow y_1\left(1+4 x^2\right)=2 y \\& \Rightarrow y_1(0+8 x)+\left(1+4 x+y_2=2 y\right.\end{aligned} (i) নং থেকে tan⁡u=2x\tan u=2 x ⇒tan⁡2u=4x⇒1+tan⁡2u=1+4x2⇒sec⁡2u=(1+4x2)⋅⋅(ii)\begin{aligned}& \Rightarrow \tan^2 u=4 x \\& \Rightarrow 1+\tan^2 u=1+4 x^2 \\& \Rightarrow \sec^2 u=\left(1+4 x^2\right) \cdot \cdot (ii) \end{aligned} এখন, (ii) নং থেকে,  y1×8x+(1+4x2)y2=2y1\: y_1 \times 8 x+ (1+4 x^2) y_2=2 y_1 ⇒y1×8x+(1+4x2)y2−2y1=0\Rightarrow y_1 \times 8 x+ (1+4 x^2) y_2-2 y_1=0 ⇒4y1tan⁡u+sec⁡2(u)y2−2y1=0\Rightarrow 4 y_1 \tan u+\sec^2(u) y_2-2 y_1=0 sec⁡2u⋅y2+2y1(2tan⁡u−1)=0\sec^2 u \cdot y_2+2 y_1(2 \tan u-1) =0 (Proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন