Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞা হতে পাই, [গণিত] নির্ণেয় অন্তরজ : [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

মূল নিয়মে এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

(i) f(x)=sin⁡(2cos⁡−11−x2)f(x)=\sin \left(2 \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) (ii) g(x)=2x3−3x2−12x+2g(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+2.

রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

মনে করি, f(x)=x3f(x)=x^3 ∴f(x+h)=(x+h)3\therefore f(\mathrm{x}+\mathrm{h})=(\mathrm{x}+\mathrm{h})^3 মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞা হতে পাই, ddx{f(x)}=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{d x}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ∴ddx(x3)=lim⁡h→0(x+h)3−x3h=lim⁡hx3+3x2h+3xh2+h2−x2h\therefore \frac{d}{d x}\left(x^3\right) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\lim_h \frac{x^3+3 x^2 h+3 x h^2+h^2-x^2}{h} =lim⁡h→03x2h+3xh2+h3hh=lim⁡h→hh(3x2+3xh+h2)h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3 x^2 h+3 x h^2+h^{3^h}}{h}=\lim_{h \rightarrow h} \frac{h\left(3 x^2+3 x h+h^2\right)}{h} =lim⁡h→0(3x2+3xh+h2)=3x2=\lim_{h \rightarrow 0}\left(3 x^2+3 x h+h^2\right)=3 x^2 নির্ণেয় অন্তরজ : 3x23 \mathrm{x}^2

উত্তর

ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta ∴θ=sin⁡−1x\therefore \theta=\sin^{-1} x দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡(2cos⁡−11−x2)f(x)=\sin \left(2 \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) f(x)=yf(x)=y হলে, y=sin⁡(2cos⁡−11−x2)y=\sin \left(2 \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) বা, y=sin⁡(2cos⁡−11−sin⁡2θ)y=\sin \left(2 \cos^{-1} \sqrt{1-\sin^2 \theta}\right) বা, y=sin⁡(2cos⁡−1cos⁡θ)y=\sin \left(2 \cos^{-1} \cos \theta\right) বা, y=sin⁡(2θ)=sin⁡(2sin⁡−1x)y=\sin (2 \theta)=\sin \left(2 \sin^{-1} x\right) xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=cos⁡(2sin⁡−1x)⋅21−x2y_1=\cos \left(2 \sin^{-1} x\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} বা, y11−x2=2cos⁡(2sin⁡−1x)y_1 \sqrt{1-x^2}=2 \cos \left(2 \sin^{-1} x\right) আবার, x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y21−x2+y1121−x2,(−2x)=−2sin⁡(2sin⁡−1x)21−x2y_2 \sqrt{1-x^2}+y_1 \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}},(-2 x)=-2 \sin \left(2 \sin^{-1} x\right) \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} বা, y2(1−x2)−xy1=−4,y[∵y=xsin⁡(2sin⁡−1x)y_2\left(1-x^2\right)-x y_1=-4, y\left[\because y=x \sin \left(2 \sin^{-1} x\right)\right. ∴(1−x2)y2=xy1−4y\therefore \quad\left(1-x^2\right) y_2=x y_1-4 y (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=2x3−3x2−12x+2\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+2 ∴g′(x)=6x2−6x−12\therefore g^{\prime}(x)=6 x^2-6 x-12 ∴g′′(x)=12x−6\therefore g^{\prime \prime}(x)=12 x-6 গুরুমানের জন্য g′(x)=0\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=0 বা, 6x2−6x−12=06 x^2-6 x-12=0. বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0. বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0. বা, x(x−2)+1(x−2)=0x(x-2)+1(x-2)=0. বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 x=2,−1x=2,-1 g′′(2)=12.2−6=18>0g^{\prime \prime}(2)=12.2-6=18>0 ∴x=2\therefore \quad \mathrm{x}=2 এর জন্য g(x) এর লঘুমান বিদ্যমান। আবার, g′′(−1)=12(−1)−6=−18<0\mathrm{g}^{\prime \prime}(-1)=12(-1)-6=-18<0 ∴x=−1\therefore \quad \mathrm{x}=-1 এর জন্য g(x) এর গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমান, g(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+2\mathrm{g}(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+2 =−2−3+12+2=9=-2-3+12+2=9 নির্ণেয় গুরুমান 9.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণরাজশাহী ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন