Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে পাই, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

মূল নিয়মে এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=cxf(x)=c^x এবং F(t)=sin⁡tF(t)=\sin t

রংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, y=(sin⁡x)ln⁡xy=(\sin x)^{\ln x} ∴ln⁡y=ln⁡(sin⁡x)ln⁡x\therefore \ln y=\ln (\sin x)^{\ln x} [উভয় পক্ষে $ln⁡\ln নিয়ে] বা,ln⁡\ln y=ln⁡x.ln⁡(sin⁡y=\ln x . \ln (\sin x)$ xx এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(ln⁡y)=ddx{ln⁡x⋅ln⁡(sin⁡x)}\frac{d}{d x}(\ln y)=\frac{d}{d x}\{\ln x \cdot \ln (\sin x)\} ddx(ln⁡y)=ddx{ln⁡x⋅ln⁡(sin⁡x)}\frac{d}{d x}(\ln y)=\frac{d}{d x}\{\ln x \cdot \ln (\sin x)\} বা, 1y.dydx=ln⁡x⋅ddx{ln⁡(sin⁡x)}+ln⁡(sin⁡x)⋅ddx(ln⁡x)\frac{1}{y}. \frac{d y}{d x}=\ln x \cdot \frac{d}{d x}\{\ln (\sin x)\}+\ln (\sin x) \cdot \frac{d}{d x}(\ln x) বা, dydx=y[ln⁡x⋅1sin⁡x⋅cos⁡x+ln⁡(sin⁡x)x]\frac{d y}{d x}=y\left[\ln x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x+\frac{\ln (\sin x)}{x}\right] বা, dydx=(sin⁡x)ln⁡x[ln⁡x⋅cot⁡x+ln⁡(sin⁡x)x]\frac{d y}{d x}=(\sin x)^{\ln x}\left[\ln x \cdot \cot x+\frac{\ln (\sin x)}{x}\right] ∴dydx=(sin⁡x)ln⁡x[ln⁡x⋅cot⁡x+ln⁡(sin⁡x)x]\therefore \frac{d y}{d x}=(\sin x)^{\ln x}\left[\ln x \cdot \cot x+\frac{\ln (\sin x)}{x}\right]

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ex∴f(3x)=e3xf(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \quad \therefore f(3 \mathrm{x})=\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}} ধরি, g(x)=f(3x)=e3x\mathrm{g}(\mathrm{x})=f(3 \mathrm{x})=\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}} ∴g(x+h)=e3(x+h)=e3x+3h=e3x⋅e3h\therefore g(x+h)=e^{3(x+h)}=e^{3 x+3 h}=e^{3 x} \cdot e^{3 h} অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে পাই, g′(x)=ddxg(x)=lim⁡h→0(x+h)−g(x)h∴ddx(e3x)=lim⁡h→0e3x⋅e3h−e3xh=lim⁡h→0e3x⋅e3h−e3xh\begin{aligned} & g^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} g(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)-g(x)}{h} \\ & \therefore \frac{d}{d x}\left(e^{3 x}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{3 x} \cdot e^{3 h}-e^{3 x}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{3 x} \cdot e^{3 h}-e^{3 x}}{h}\end{aligned} lim⁡h→0e3xh(e3h−1)=e3xlim⁡h→01h(e3h−1)\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{3 x}}{h}\left(e^{3 h}-1\right)=e^{3 x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(e^{3 h}-1\right) =e3xlim⁡h→01h{(1+3h+32h22!+33h33!+…….)−1}=\mathrm{e}^{3 x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\left(1+3 h+\frac{3^2 h^2}{2!}+\frac{3^3 h^3}{3!}+\ldots \ldots.\right)-1\right\} =e3xlim⁡h→0(3+32h2!+32h23!+….)=e3x⋅3=3e3x=e^{3 x} \lim_{h \rightarrow 0}\left(3+\frac{3^2 h}{2!}+\frac{3^2 h^2}{3!}+\ldots.\right)=e^{3 x} \cdot 3=3 e^{3 x} ∴ddx(e3x)=3e3x\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}\right)=3 \mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}

উত্তর

দেওয়া আছে, F(t)=sin⁡tF(t)=\sin t x=F(y)x=F(\sqrt{y}) হলে x=sin⁡yx=\sin \sqrt{y} বা, y=sin⁡−1x\sqrt{y}=\sin^{-1} x বা, y=(sin⁡−1x)2y=\left(\sin^{-1} x\right)^2 [বর্গ করে]…..(1)\ldots..(1) xx এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(y)=ddx(sin⁡−1x)2\frac{d}{d x}(y)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right)^2 বা, y1=2(sin⁡−1x)ddx(sin⁡−1x)y_1=2\left(\sin^{-1} x\right) \frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right) বা, y1=2(sin⁡−1x)⋅11−x2y_1=2\left(\sin^{-1} x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} বা, (1−x2)⋅y1=2(sin⁡−1x)\left(\sqrt{1-x^2}\right) \cdot y_1=2\left(\sin^{-1} x\right) বা, (1−x2)⋅y12=4(sin⁡−1x)2\left(1-x^2\right) \cdot y_1{ }^2=4\left(\sin^{-1} x\right)^2 [বর্গ করে] বা, (1−x2)⋅y12=4y[(1)\left(1-x^2\right) \cdot y_1{ }^2=4 y[(1) নং হতে] xx এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ ddx{(1−x2)⋅y12}=ddx(4y)\frac{d}{d x}\left\{\left(1-x^2\right) \cdot y_1{ }^2\right\}=\frac{d}{d x}(4 y) বা, (1−x2)ddx(y12)+y12⋅ddx(1−x2)=4y1\left(1-x^2\right) \frac{d}{d x}\left(y_1{ }^2\right)+y_1{ }^2 \cdot \frac{d}{d x}\left(1-x^2\right)=4 y_1 বা, (1−x2)⋅2y1y2−2xy12=4y1\left(1-x^2\right) \cdot 2 y_1 y_2-2 x y_1{ }^2=4 y_1 ∴(1−x2)y2−xy1=2\therefore\left(1-\mathrm{x}^2\right) \mathrm{y}_2-\mathrm{x} \mathrm{y}_1=2 (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণরংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
মূল নিয়মে এর অন্তরজ নির্ণয় কর। | Prosthuti