Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: এখানে, [গণিত] এখন, [গণিত] এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . অনুরূপভাবে, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে হলে দেখাও যে, .

উদ্দীপক

y=f(x)\mathrm{y}=f(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র :

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

এখানে, y=xx,x∈Ny=x^{x}, x \in \mathbb{N} এখন, xx এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=n⋅xn−1y_{1}=n \cdot x^{n-1} বা, y2=n⋅(n−1)⋅xn−2\mathrm{y}_{2}=\mathrm{n} \cdot(\mathrm{n}-1) \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{n}-2} বা, y3=n.(n−1)(n−2)xn−3y_{3}=n .(n-1)(n-2) x^{n-3}
…………………………………………………………………………………….\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.
অনুরূপভাবে, yn=n⋅(n−1)(n−2)…......{n−(n−1)}⋅xn−n\mathrm{y}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \cdot(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2) \ldots . . . . . .\{\mathrm{n}-(\mathrm{n}-1)\} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{n}-\mathrm{n}} =n(n−1)(n−2)(n−3)….....3.2.1=n!=n(n-1)(n-2)(n-3) \ldots . . . . . 3. 2. 1=n! ∴yn=n!\therefore \quad y_{n}=\mathrm{n}! (দেখানো হলো)

উত্তর

লেখচিত্রটি cos⁡x\cos x এর ∴f(x)=cos⁡x\therefore f(x)=\cos x f(x∘)=cos⁡x∘=cos⁡xπ180f\left(x^{\circ}\right) =\cos x^{\circ}=\cos \frac{x \pi}{180} =cos⁡kx=\cos \mathrm{kx} [ধরি, k=π180\mathrm{k}=\frac{\pi}{180}] ধরি, g(x)=y=1f(x∘)g(x)=y=\frac{1}{f\left(x^{\circ}\right)} ∴g(x)=1cos⁡kx=sec⁡kx\therefore g(x)=\frac{1}{\cos k x}=\sec k x g(x+h)=sec⁡k(x+h)=sec⁡(kx+kh)g(x+h)=\sec k(x+h)=\sec (k x+k h) মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, dydx=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h=lim⁡h→01h[sec⁡(kx+kh−sec⁡kx)]\frac{d y}{d x}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[\sec (k x+k h-\sec k x)] =lim⁡h→01h[1cos⁡(kx+kh)−1cos⁡kh]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{1}{\cos (k x+k h)}-\frac{1}{\cos k h}\right] =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos k x-\cos (k x+k h)}{h \cdot \cos (k x+k h} \cdot \cos k x} =lim⁡h→02sin⁡(kx+kx+kh2)⋅sin⁡kx+kh−kx2h⋅cos⁡(kx+kh)⋅cos⁡kx=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin \left(\frac{k x+k x+k h}{2}\right) \cdot \sin \frac{k x+k h-k x}{2}}{h \cdot \cos (k x+k h) \cdot \cos k x} =2lim⁡h→0sin⁡kh2h⋅sin⁡(kx+kh2)cos⁡(kx+kh)⋅cos⁡kx=2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{k h}{2}}{h} \cdot \frac{\sin \left(k x+\frac{k h}{2}\right)}{\cos (k x+k h) \cdot \cos k x} =2lim⁡πh→0sin⁡kh2kh2k2×lim⁡h→0sin⁡(kx+kh2)cos⁡(kx+kh)⋅cos⁡kx=2 \lim_{\pi h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{k h}{2}}{\frac{k h}{2}} \frac{k}{2} \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \left(k x+\frac{k h}{2}\right)}{\cos (k x+k h) \cdot \cos k x} ∴h→0,πh→0\therefore h \rightarrow 0, \pi h \rightarrow 0 =2.1.k2×lim⁡h→0sin⁡(kx+kh2)lim⁡h→0cos⁡(kx+kh)⋅cos⁡kx=2.1 . \frac{k}{2} \times \frac{\lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(k x+\frac{k h}{2}\right)}{\lim_{h \rightarrow 0} \cos (k x+k h) \cdot \cos k x} =2⋅k2⋅sin⁡kxcos⁡kx⋅cos⁡kx=ksec⁡kxtan⁡kx=2 \cdot \frac{k}{2} \cdot \frac{\sin k x}{\cos k x \cdot \cos k x}=k \sec k x \tan k x =π180⋅sec⁡xπ180⋅tan⁡xπ180=\frac{\pi}{180} \cdot \sec \frac{x \pi}{180} \cdot \tan \frac{x \pi}{180} [k এর মান বসিয়ে]$ ∴ddx(y)=π180sec⁡xπ180⋅tan⁡xπ180\therefore \quad \frac{d}{d x}(y)=\frac{\pi}{180} \sec \frac{x \pi}{180} \cdot \tan \frac{x \pi}{180}

উত্তর

'খ' হতে প্রাপ্ত, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x আবার, z=a+2f(π2−x)+3{f(x)}2;0≤x≤π2z=a+2 f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+3\{f(x)\}^{2} ; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} ধরি, z=g(x)=a+2sin⁡x+3cos⁡2xz=g(x)=a+2 \sin x+3 \cos^{2} x ∴g′′(x)=0+2cos⁡x+6cos⁡.(−sin⁡x)\therefore g^{\prime \prime}(x)=0+2 \cos x+6 \cos .(-\sin x) [ xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] =2cos⁡x−6sin⁡x⋅cos⁡x=2 \cos x-6 \sin x \cdot \cos x ∴g′′(x)=2(−sin⁡x)−6(−sin⁡xsin⁡x+cos⁡x⋅cos⁡x)\therefore \quad g^{\prime \prime}(x)=2(-\sin x)-6(-\sin x \sin x+\cos x \cdot \cos x) [আবার, xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] =−2sin⁡x−6(cos⁡x−sin⁡x)=-2 \sin x-6(\cos x-\sin x) =−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)=-2 \sin x-6\left(1-2 \sin^{2} x\right) চরমমানের জন্য, g′(x)=0g^{\prime}(x)=0 বা, 2cos⁡x−6sin⁡x⋅cos⁡x=02 \cos x-6 \sin x \cdot \cos x=0 বা, 2cos⁡x(1−3sin⁡x)=02 \cos x(1-3 \sin x)=0 বা, cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\cos x(1-3 \sin x)=0 হয়, cos⁡x=0\cos x=0 বা, cos⁡x=cos⁡π2\quad \cos x=\cos \frac{\pi}{2} ∴x=π2\therefore \quad x=\frac{\pi}{2} অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} ∴x=sin⁡−113\therefore \quad x=\sin^{-1} \frac{1}{3} x=π2x=\frac{\pi}{2} হলে, g′′(π2)=−2.1−6(0−1)g^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2.1-6(0-1) =4>0=4>0 ∴x=π2\therefore \quad x=\frac{\pi}{2} এর জন্য g(x)g(x) এর লঘুমান বিদ্যমান ∴\therefore লঘুমান =g(π2)=a+2⋅1+3⋅0=a+2=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=a+2 \cdot 1+3 \cdot 0=a+2 আবার, x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} হলে, g′′(sin⁡−113)=−2⋅13−6(1−2⋅19)=−163<0\mathrm{g}^{\prime \prime}\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=-2 \cdot \frac{1}{3}-6\left(1-2 \cdot \frac{1}{9}\right)=\frac{-16}{3}<0 ∴x=sin⁡−113\therefore \quad x=\sin^{-1} \frac{1}{3} এর জন্য, g(x)g(x) এর গুরুমান বিদ্যমান ∴\therefore গুরুমান =g(sin⁡−113)=a+2⋅13+3(1−19)=\mathrm{g}\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=\mathrm{a}+2 \cdot \frac{1}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right) =a+23+83=a+103=a+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=a+\frac{10}{3} নির্ণেয় লঘুমান =a+2=a+2 এবং গুরুমান =a+103=a+\frac{10}{3}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন