Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] x এর সাপকক্ষ পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে, [গণিত] বা, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-I: y(x+1)(x+2)−x+4=0y(x+1)(x+2)-x+4=0 দৃশ্যকল্প-II : h(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1

ঝালকাঠি সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, y=sec⁡xy=\sec x x এর সাপকক্ষ পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে, ∴y1=sec⁡xtan⁡x\therefore \mathrm{y}_1=\sec \mathrm{x} \tan \mathrm{x} বা, y2=sec⁡x⋅ddx(tan⁡x)+tan⁡x⋅ddx(sec⁡x)y_2=\sec x \cdot \frac{d}{d x}(\tan x)+\tan x \cdot \frac{d}{d x}(\sec x) =sec⁡x⋅sec⁡2x+tan⁡x⋅tan⁡x⋅sec⁡x=\sec x \cdot \sec^2 x+\tan x \cdot \tan x \cdot \sec x =sec⁡x(sec⁡2x+tan⁡2x)=\sec x\left(\sec^2 x+\tan^2 x\right) =sec⁡x(sec⁡2x+sec⁡2x−1)=\sec x\left(\sec^2 x+\sec^2 x-1\right) =sec⁡x(2sec⁡2x−1)=\sec x\left(2 \sec^2 x-1\right) ∴y2=y(2y2−1)\therefore \mathrm{y}_2=\mathrm{y}\left(2 \mathrm{y}^2-1\right) (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, y(x+1)(x+2)−x+4=0……\mathrm{y}(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+2)-\mathrm{x}+4=0 \ldots \ldots (i) যেহেতু বক্ররেখাটি xx-অক্ষকে ছেদ করে। সুতরাং y=0y=0 y\mathrm{y} এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, 0(x+1)(x+2)−x+4=00(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+2)-\mathrm{x}+4=0 বা, 0−x+4=00-x+4=0 ∴x=4\therefore \mathrm{x}=4 ∴\therefore ছেদববিন্দু (4,0)(4,0) (i) নং হতে পাই, y(x2+3x+2)−x+4=0\mathrm{y}\left(\mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+2\right)-\mathrm{x}+4=0 x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx{y(x2+3x+2)−x+4}=ddx(0)\frac{d}{d x}\left\{y\left(x^2+3 \mathrm{x}+2\right)-\mathrm{x}+4\right\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(0) বা, y(2x+3)+(x2+3x+2)dydx−1+0=0y(2 x+3)+\left(x^2+3 x+2\right) \frac{d y}{d x}-1+0=0 বা, (x2+3x+2)dydx=1−2xy−3y\left(x^2+3 x+2\right) \frac{d y}{d x}=1-2 x y-3 y ∴dydx=1−2xy−3yx2+3x+2\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{1-2 x y-3 y}{x^2+3 x+2} (4,0)(4,0) বিন্দুতে dydx=1−2×4×0−3×042+3×4+2=130\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-2 \times 4 \times 0-3 \times 0}{4^2+3 \times 4+2}=\frac{1}{30} (4,0)(4,0) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−0=dydx(x−4)y-0=\frac{d y}{d x}(x-4) বা, y=130(x−4)y=\frac{1}{30}(x-4) বা, 30y=x−430 y=x-4 ∴x−30y−4=0 (Ans.) \therefore \mathrm{x}-30 \mathrm{y}-4=0 \text{ (Ans.) } (4,0)(4,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, (x−4)+130(y−0)=0(x-4)+\frac{1}{30}(y-0)=0 বা, 30x−120+y=030 \mathrm{x}-120+\mathrm{y}=0 ∴30x+y=120 (Ans.) \therefore 30 \mathrm{x}+\mathrm{y}=120 \text{ (Ans.) }

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1 ∴h′(x)=6x2−6x−12\therefore \mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}-12  h′′(x)=12x−6\mathrm{~h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12 \mathrm{x}-6 চরমমানের জন্য, h′(x)=0\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=0 বা, 6x2−6x−12=06 x^2-6 x-12=0 বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0 বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0 বা, x(x−2)+1(x−2)=0\mathrm{x}(\mathrm{x}-2)+1(\mathrm{x}-2)=0 বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 ∴x=−1,2\therefore \mathrm{x}=-1,2 x=−1\mathrm{x}=-1 হলে h′′(x)=12(−1)−6=−18<0\mathrm{h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12(-1)-6=-18<0 x = - 1 এর জন্য h(x) ফাংশনে সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ =h(−1)=\mathrm{h}(-1) =2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+1=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1 =−2−3+12+1=-2-3+12+1 =8 (Ans.) x=2\mathrm{x}=2 হলে, h′′(x)=12×2−6=18>0\mathrm{h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12 \times 2-6=18>0 x=2\mathrm{x}=2 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =h(2)=\mathrm{h}(2) =2×23−3×22−12×2+1=2 \times 2^3-3 \times 2^2-12 \times 2+1 =16−12−24+1=16-12-24+1 =-19 (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণঝালকাঠি সরকারি কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে, প্রমাণ কর যে, . | Prosthuti