শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরক নির্ণয় কর।

উত্তর: আমরা জানি, [গণিত] নির্ণেয় অন্তরজ [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

-এর সাপেক্ষে এর অন্তরক নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=a5x;g(x)=(x+1+x2)f(x)=a^{5 x} ; g(x)=\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা · 2025

উত্তর

আমরা জানি, logxa=logxe×logea=lnalogex\log_{x} a=\log_{x} e \times \log_{e} a=\frac{\ln a}{\log_{e} x} =lnalnx=\frac{\ln a}{\ln x} \therefore \frac{d}{d x} \log_{x} a=\frac{-\ln a}{(\ln x}^{2}} \times \frac{1}{x} নির্ণেয় অন্তরজ =\frac{-\ln a}{x(\ln x}^{2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a5xf(x)=a^{5 x} f(x+h)=a5(x+h)f(x+h)=a^{5(x+h)} অন্তরজের মূল নিয়ম অনুযায়ী, f(x)=ddxf(x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) =Lth0f(x+h)f(x)h=\operatorname{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{f(\mathrm{x}+\mathrm{h})-f(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} =Lth0a5(x+h)a5xh=\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{a^{5(x+h)}-a^{5 x}}{h} =Lth0a5x(a5h1)h=\mathrm{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{a}^{5 x}\left(a^{5 h}-1\right)}{h} =a5xLth0{1+5hlna+(5hlna)22!+(5hlna)33!+}1h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{\left\{1+5 h \ln a+\frac{(5 h \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{(5 h \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}-1}{h} =a5xLth0h{5lna+h(5lna)22!+h2(5lna)33!+}h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{h\left\{5 \ln a+\frac{h(5 \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{h^{2}(5 \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}}{h} =a5xLth0[5lna+h(5lna)22!+h2(5lna)33!+]=\mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \underset{\mathrm{h} \rightarrow 0}{\mathrm{Lt}}\left[5 \ln \mathrm{a}+\frac{\mathrm{h}(5 \ln \mathrm{a})^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{h}^{2}(5 \ln \mathrm{a})^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right] =a5x[5lna+0+0+=a^{5 x}[5 \ln a+0+0+ =5a5xlna=5 a^{5 x} \ln a নির্ণেয় অন্তরজ : 5a5xln5 \mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \ln a.

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, g(x)=x+1+x2g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} z={g(x)}m\therefore z=\{g(x)\}^{m} =(x+1+x2)m=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m} dzdx=m(x+1+x2)m1×(1+121+x2×2x)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1} \times\left(1+\frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \times 2 x\right) dzdx=m(x+1+x2)mx+1+x2(1+x1+x2)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m \frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right) dzdx=mzx+1+x2×x+1+x21+x2\Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{m z}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \times \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} (1+x2)dzdx=mz\Rightarrow\left(\sqrt{1+x^{2}}\right) \frac{d z}{d x}=m z (1+x2)(dzdx)2=m2z2\Rightarrow\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2}=m^{2} z^{2} (1+x2)2dzdxd2zdx2+(dzdx)2×2x=m2×2z×dzdx\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) 2 \cdot \frac{d z}{d x} \cdot \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2} \times 2 x=m^{2} \times 2 z \times \frac{d z}{d x} (1+x2)d2zdx2+xdzdxm2z=0\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+x \frac{d z}{d x}-m^{2} z=0 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x)=\cos x f(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx limx0f(π23x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. limxaf(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. limxaf(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.xx-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x352x2+6x1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sinxf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin2xsinx+cosx)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।