Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] প্রদত্ত রাশি [গণিত] . [গণিত] x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে [গণিত] x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

যদি হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=u1+cos⁡2ug(u)=\frac{u}{1+\cos^2 u}

আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3[06]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}\left[\frac{0}{6}\right] ⇒lim⁡x→0sec⁡2x−cos⁡x3x2[ L. Hospital] \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sec^{2} x-\cos x}{3 x^{2}} \quad[\text{ L. Hospital] } ⇒lim⁡x→02sec⁡x⋅sec⁡xtan⁡x+sin⁡x6x[00]\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sec x \cdot \sec x \tan x+\sin x}{6 x}\left[\frac{0}{0}\right] ⇒lim⁡x→02sec⁡2xtan⁡x+sin⁡x6x\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sec^{2} x \tan x+\sin x}{6 x} ⇒lim⁡x→02tan⁡x(1+tan⁡2x)+sin⁡x6x\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x\left(1+\tan^{2} x\right)+\sin x}{6 x} ⇒lim⁡x→02tan⁡x+2tan⁡3x+sin⁡x6x[00]\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x+2 \tan^{3} x+\sin x}{6 x}\left[\frac{0}{0}\right] ⇒lim⁡x→02sec⁡2x+6tan⁡2x⋅sec⁡2x+cos⁡x6\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sec^{2} x+6 \tan^{2} x \cdot \sec^{2} x+\cos x}{6} =2×1+6×0×1+76=\frac{2 \times 1+6 \times 0 \times 1+7}{6} =360=\frac{3}{6} 0 =12=\frac{1}{2}

উত্তর

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u ∴f(x)=sin⁡−1x\therefore f(x)=\sin^{-1} x ∴f(2x)=sin⁡−1(2x)\therefore f(2 x)=\sin^{-1}(2 x) প্রদত্ত রাশি y={f(2x)}2y=\{f(2 x)\}^{2}. ={sin⁡−1(2x)}2=\left\{\sin^{-1}(2 x)\right\}^{2} x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে y1=2sin⁡−1(2x)⋅2⋅11−4x2y_{1}=2 \sin^{-1}(2 x) \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-4 x^{2}}} ⇒1−4x2y1=4sin⁡−1(2x)\Rightarrow \sqrt{1-4 x^{2}} y_{1}=4 \sin^{-1}(2 x) ⇒(1−4x2⋅y1)2=4sin⁡−1(2x)}\Rightarrow \left.\left(\sqrt{1-4 x^{2}} \cdot y_{1}\right)^{2}=4 \sin^{-1}(2 x)\right\} ⇒(1−4x2)⋅y12=16⋅y[y=sin⁡−2(2x)]\Rightarrow \left(1-4 x^{2}\right) \cdot y_{1}^{2}=16 \cdot y \quad\left[y=\sin^{-2}(2 x)\right] x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে ⇒2y1y2(1−4x2)+y12(−8x)−16y1=0\Rightarrow \quad 2 y_{1} y_{2}\left(1-4 x^{2}\right)+y_{1}^{2}(-8 x)-16 y_{1}=0 ⇒y2(1−4x2)−4xy1−8y=0\Rightarrow \quad y_{2}\left(1-4 x^{2}\right)-4 x y_{1}-8 y=0 (প্রমাণিত)

উত্তর

I=∫0πg(x)dxI=\int_{0}^{\pi} g(x) d x 1÷∫0πx1+cos⁡2xdx1 \div \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos^{2} x} d x ⇒I=∫0π(π−x)dx1+cos⁡2(π−x)∵∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)d\Rightarrow I=\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) d x}{1+\cos^{2}(\pi-x)} \quad \quad \because \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d ⇒I=∫0ππdx1+cos⁡2x−∫0πxdx1+cos⁡2x\Rightarrow I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi d x}{1+\cos^{2} x}-\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\cos^{2} x} ⇒I=π∫0πdx1+cos⁡2x−I\Rightarrow I=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+\cos^{2} x}-I ⇒2Iπ=∫0πsec⁡2x1+sec⁡2xdx[sec⁡−2sin⁡sen⁡]−1\Rightarrow \frac{2 I}{\pi}=\int_{0}^{\pi} \frac{\sec^{2} x}{1+\sec^{2} x} d x \quad\left[\sec^{-2} \sin \operatorname{sen}\right]^{-1} ⇒2Iπ=∫0πsec⁡2x2+tan⁡2xdx\Rightarrow \frac{2 I}{\pi}=\int_{0}^{\pi} \frac{\sec^{2} x}{2+\tan^{2} x} d x ধরি, tan⁡x=t\tan x=t sec⁡2xdx=dt\sec^{2} x d x=d t ⇒2Iπ=∫0πdt2+t2\Rightarrow \frac{2 I}{\pi}=\int_{0}^{\pi} \frac{d t}{2+t^{2}}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণআদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন