Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১:
\mathrm{x}=\sin (lny)$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন। দৃশ্যকল্প-২ :$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^4-8 \mathrm{x}^3+22 \mathrm{x}^2-24 \mathrm{x}+15
.

রংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ · 2024

উত্তর

ধরি, y=x1/xy =x^{1 / x} ∴ln⁡y=1xln⁡x\therefore \ln y =\frac{1}{x} \ln x x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, 1y⋅dydx=1xddx(ln⁡x)+ln⁡xddx(1x)\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x} \frac{d}{d x}(\ln x)+\ln x \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x}\right) ⇒dydx=y⋅[1x⋅1x+ln⁡x⋅(−1)1x2]\Rightarrow \frac{d y}{d x}=y \cdot\left[\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot(-1) \frac{1}{x^{2}}\right] ⇒dydx=x1/x⋅[1x2−1x2ln⁡x]\Rightarrow \frac{d y}{d x}=x^{1 / x} \cdot\left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \ln x\right] ⇒dydx=x1/x⋅1x2[1−ln⁡x]\Rightarrow \frac{d y}{d x}=x^{1 / x} \cdot \frac{1}{x^{2}}[1-\ln x] ∴dydx=x1x−2[1−ln⁡x]\therefore \frac{d y}{d x}=x^{\frac{1}{x}-2}[1-\ln x] Ans

উত্তর

দেওয়া আছে, x=sin⁡(ln⁡y)x=\sin (\ln y) ∴ln⁡y=sin⁡−1x\therefore \ln y=\sin^{-1} x ∴y=esin⁡−1x\therefore y=e^{\sin^{-1} x} y1=esin⁡−1x11−x2y_{1}=e^{\sin^{-1} x} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ⇒y1=esin⁡−1x1−x2\Rightarrow \quad y_{1}=\frac{e^{\sin^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}} ⇒y1(1−x2)=esin⁡−1x\Rightarrow y_{1}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)=e^{\sin^{-1} x} ⇒y11−x2=y\Rightarrow y_{1} \sqrt{1-x^{2}}=y ⇒y12(1−x2)=y2\Rightarrow y_{1}^{2}\left(1-x^{2}\right)=y^{2} ⇒y12−y12x2=y2\Rightarrow y_{1}^{2}-y_{1}^{2} x^{2}=y^{2} ⇒2y1y2−[x2⋅2y1y2−y12⋅2x]=2yy1\Rightarrow 2 y_{1} y_{2}-\left[x^{2} \cdot 2 y_{1} y_{2}-y_{1}^{2} \cdot 2 x\right]=2 y y_{1} ⇒2y1y2−2y1y2x2+2xy12=2yy1\Rightarrow 2 y_{1} y_{2}-2 y_{1} y_{2} x^{2}+2 x y_{1}^{2}=2 y y_{1} \Rightarrow y_{2}-x^{2} y_{2}-x_{1}=y \text{ (\prod). } ⇒(1−x2)y2−xy1−y=0 (P) \Rightarrow\left(1-x^{2}\right) y^{2}-x y_{1}-y=0 \text{ (P) }

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x4−8x3+22x2−24x+15f(x)=x^{4}-8 x^{3}+22 x^{2}-24 x+15 f′(x)=4x3−24x2+44x−24f^{\prime}(x)=4 x^{3}-24 x^{2}+44 x-24 f′′(x)=12x2−48x+44f^{\prime \prime}(x)=12 x^{2}-48 x+44 সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য f′(x)=0f^{\prime}(x)=0. ∴4x3−24x2+44x−24=0\therefore 4 x^{3}-24 x^{2}+44 x-24=0 বা, 4x3−4x2−20x2+20x+24x−24=04 x^{3}-4 x^{2}-20 x^{2}+20 x+24 x-24=0 বা, 4x2(x−1)−20x(x−1)+24(x−1)=04 x^{2}(x-1)-20 x(x-1)+24(x-1)=0 বা, (x−1)(4x2−20x+24)=0(x-1)\left(4 x^{2}-20 x+24\right)=0 বা, 4(x−1)(x2−5x+6)=04(x-1)\left(x^{2}-5 x+6\right)=0 বা, (x−1)(x2−3x−2x+6)=0(x-1)\left(x^{2}-3 x-2 x+6\right)=0 বা, (x−1){x(x−3)−2(x−3)}=0(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}=0 বা, (x−1)(x−2)(x−3)=0(x-1)(x-2)(x-3)=0 ∴x=1,2,3\therefore x=1,2,3 এখন, x = 1 বিন্দুতে, f′′(x)=12×12−48×1+44f^{\prime \prime}(x)=12 \times 1^2-48 \times 1+44 =12−48+44=8>0=12-48+44=8>0 ∴x=1\therefore x=1 বিন্দুতে, f(x)f(x) এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যামান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =(1)4−8(1)3+22(1)2−24(1)+15=(1)^{4}-8(1)^{3}+22(1)^{2}-24(1)+15 =1−8+22−24+15=6=1-8+22-24+15=6 আবার, x4/=2x^{4 /}=2 বিন্দুতে (0,f′′(x)=12×22−48×2+44,\left(0, f^{\prime \prime}(x)\right. =12 \times 2^{2}-48 \times 2+44, =48−96+44=−4<0=48-96+44=-4<0 ∴x=2\therefore x=2 বিন্দুতে f(x)f(x) এর সর্বোচ্চ মান বিদ্যামান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান =(2)4−8(2)3+22(2)2−24(2)+15=(2)^{4}-8(2)^{3}+22(2)^{2}-24(2)+15 =16−64+88−48+15=7=16-64+88-48+15=7 এবং, x = 3 বিন্দুতে f′′(x)=12×32−48×3+44f^{\prime \prime}(x)=12 \times 3^2-48 \times 3+44 =108−144+44=8>0=108-144+44=8>0 ∴x=3\therefore x=3 বিন্দুতে, f(x)f(x) এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যামান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =(3)4−8(3)3+22(3)2−24(3)+15=(3)^{4}-8(3)^{3}+22(3)^{2}-24(3)+15 =81−216+198−72+15=6=81-216+198-72+15=6 ∴f(x)\therefore f(x) ফাংশনটির গুরু মান 7 এবং লঘুমান 6।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণরংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন