Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তর্রীকরণ করে পাই, বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

y=eag⁡(x)y=e^{\operatorname{ag}(x)} এবং f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}

ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ex∴f(mx)=emx\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \therefore \mathrm{f}(\mathrm{mx})=\mathrm{e}^{\mathrm{mx}} মনেকরি, p(x)=emx∴p(x+h)=em(x+h)p(x)=e^{m x} \therefore p(x+h)=e^{m(x+h)} ddx{p(x)}=lim⁡h→0p(x+h)−p(x)h\frac{d}{d x}\{p(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} ∴ddx(emx)=lim⁡h→0em(x+h)−emxh=lim⁡h→0emx⋅emh−emxh\therefore \frac{d}{d x}\left(e^{m x}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{m(x+h)}-e^{m x}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{m x} \cdot e^{m h}-e^{m x}}{h} =lim⁡h→0emx(emh−1)h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{m x}\left(e^{\mathrm{mh}}-1\right)}{h} =lim⁡h→0emx⋅1h{(1+mh1!+m2h22!+m3h33!+….)−1}=\lim_{h \rightarrow 0} e^{m x} \cdot \frac{1}{h}\left\{\left(1+\frac{m h}{1!}+\frac{m^{2} h^{2}}{2!}+\frac{m^{3} h^{3}}{3!}+\ldots.\right)-1\right\} =lim⁡h→0emx⋅1h(mh+m2h22!+m3h33!+….)=\lim_{h \rightarrow 0} e^{m x} \cdot \frac{1}{h}\left(m h+\frac{m^{2} h^{2}}{2!}+\frac{m^{3} h^{3}}{3!}+\ldots.\right) =lim⁡h→0emx(m+m2h2!+m3h23!+….)=memx=\lim_{h \rightarrow 0} e^{m x}\left(m+\frac{m^{2} h}{2!}+\frac{m^{3} h^{2}}{3!}+\ldots.\right)=m e^{m x} ∴ddx(emx)=memx\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{mx}}\right)=\mathrm{me}^{\mathrm{mx}} (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, y=eag(x)\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{ag}(\mathrm{x})} ∴y=easin⁡−1x[∵g(x)=sin⁡−1x]\therefore y=e^{a \sin^{-1} x}\left[\because g(x)=\sin^{-1} x\right] xx এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তর্রীকরণ করে পাই, বা, dydx=aeasin⁡−1x⋅11−x2\frac{d y}{d x}=a e^{a \sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} বা, 1−x2⋅dydx=a.easin⁡−1x\sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d y}{d x}=a . e^{a \sin^{-1} x} বা, 1−x2⋅dydx=a.y⁡[∵y=easin⁡−1x]\sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d y}{d x}=\operatorname{a.y}\left[\because y=e^{a \sin^{-1} x}\right] বা, (1−x2)(dydx)2=a2y2\left(1-x^{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=a^{2} y^{2} বা, (1−x2)⋅2dydx⋅d2ydx2+(dydx)2⋅(−2x)=a2⋅2y⋅dydx\left(1-x^{2}\right) \cdot 2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} \cdot(-2 x)=a^{2} \cdot 2 y \cdot \frac{d y}{d x} বা, d2ydx2(1−x2)−x⋅dydx=a2y\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\left(1-x^{2}\right)-x \cdot \frac{d y}{d x}=a^{2} y ∴(1−x2)d2ydx2−x⋅dydx−a2y=0\therefore\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \cdot \frac{d y}{d x}-a^{2} y=0 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1x∴f(x)+f(x)−1=x+1xf(x)=\frac{1}{x} \therefore f(x)+f(x)^{-1}=x+\frac{1}{x} ধরি, y=x+1x∴dydx=1−1x2\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}} \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−1x2=01-\frac{1}{x^{2}}=0 বা, x2=1x^{2}=1 বা, x=±1x= \pm 1 আবার, d2ydx2=2x3\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=\frac{2}{\mathrm{x}^{3}} x=1\mathrm{x}=1 হলে, d2ydx2=21=2>0\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=\frac{2}{1}=2>0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, লঘুমান =1+11=2=1+\frac{1}{1}=2 (Ans.) x=−1\mathrm{x}=-1 হলে, \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=\frac{2}{(-1}^{3}}=-2<0 ∴x=−1\therefore x=-1 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, গুরুমান =(−1)+1−1=−2=(-1)+\frac{1}{-1}=-2 (Ans.) সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন