Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ কর, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] বা, [গণিত] কেন্দ্রিক বৃত্তে [গণিত] রেডিয়ান. [গণিত] এবং [গণিত] বর্ধিতাংশ AD কে D বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে, [গণিত] বা. [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ কর, .

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡x,g(x)=e−2x,h(x)=ln⁡(1+x)f(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\ln (1+\mathrm{x}).

ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ∴f(ax)=sin⁡ax\therefore f(a x)=\sin a x ধরি, g(x)=sin⁡axg(x)=\sin a x ∴g(x+h)=sin⁡{a(x+h)}=sin⁡(ax+ah)\therefore \quad g(x+h)=\sin \{a(x+h)\}=\sin (a x+a h) মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, ddxg(x)=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h\frac{d}{d x} g(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} ddx(sin⁡ax)=lim⁡h→0sin⁡(ax+ah)−sin⁡axh\frac{d}{d x}(\sin a x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (a x+a h)-\sin a x}{h} =lim⁡h→02cos⁡ax+ah+ax2sin⁡ax+ah−ax2h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \frac{a x+a h+a x}{2} \sin \frac{a x+a h-a x}{2}}{h} =lim⁡h→02cos⁡(ax+h2)sin⁡ah2h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(a x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{a h}{2}}{h} lim⁡h→0cos⁡(ax+h2)×h2→0ah22\lim_{h \rightarrow 0} \cos \left(a x+\frac{h}{2}\right) \times \frac{h}{2 \rightarrow 0} \frac{\frac{a h}{2}}{2} [∵h→0\left[\because h \rightarrow 0\right. হলে, h2→0]\left.\frac{h}{2} \rightarrow 0\right] =cos⁡(ax+0)×1×a=\cos (a x+0) \times 1 \times a =acos⁡ax=a \cos a x নির্ণেয় অন্তরজ : acos⁡ax\mathrm{a} \cos \mathrm{ax}.

উত্তর

question image দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x প্রমাণ করতে হবে যে, lim⁡x→0ℓ(x)x=1\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ell(x)}{x}=1 বা, lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 OO কেন্দ্রিক বৃত্তে ∠AOB=x\angle A O B=x রেডিয়ান. BC⊥OAB C \perp O A এবং AD⊥OA∣OBA D \perp O A \mid O B বর্ধিতাংশ AD কে D বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে, △OBC<\triangle \mathrm{OBC}< বৃত্তকলা AOB<△OAD\mathrm{AOB}<\triangle O A D বা, 12OC.BC<12r2x<12OA.AD)\left.\frac{1}{2} \mathrm{OC} . \mathrm{BC}<\frac{1}{2} \mathrm{r}^{2} \mathrm{x}<\frac{1}{2} \mathrm{OA} . \mathrm{AD}\right) বা, OC,BCsin⁡xx>cos⁡xO C, B C\frac{\sin x}{x}>\cos x বা. cos⁡x<sin⁡xx<1cos⁡x\cos x<\frac{\sin x}{x}<\frac{1}{\cos x} বা. lim⁡x→0cos⁡x<lim⁡x→0sin⁡xx<lim⁡x→01cos⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \cos x<\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}<\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} বা, 1<lim⁡x→0sin⁡xx<11<\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}<1 ∴lim⁡x→0sin⁡xx=1\therefore \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=e−2xg(x)=\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}} এবং h(x)=ln⁡(1+x)h(x)=\ln (1+\mathrm{x}) ∴g(y)=e−2y\therefore g(y)=e^{-2 y} এবং h(y)=ln⁡(1+y)h(y)=\ln (1+y) ∴lim⁡y→01−g(y)h(y)[0<y<1]\therefore \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1-g(y)}{h(y)}[0<y<1] =lim⁡y→01−e−2yln⁡(1+y)=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{1-e^{-2 y}}{\ln (1+y)} =lim⁡y→01−{1−2y1!+(2y)22!−(2y)33!+……}y−y22+y33−y44+…….=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{1-\left\{1-\frac{2 y}{1!}+\frac{(2 y)^{2}}{2!}-\frac{(2 y)^{3}}{3!}+\ldots \ldots\right\}}{y-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}+\ldots \ldots .} =lim⁡y→02y−(2y)22!+(2y)33!−………y−y22+y33−y44+……=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{2 y-\frac{(2 y)^{2}}{2!}+\frac{(2 y)^{3}}{3!}-\ldots \ldots \ldots}{y-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}+\ldots \ldots} =lim⁡y→0y(2−4y2!+8y23!−……)y(1−y2+y23−y34+……)=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{y\left(2-\frac{4 y}{2!}+\frac{8 y^{2}}{3!}-\ldots \ldots\right)}{y\left(1-\frac{y}{2}+\frac{y^{2}}{3}-\frac{y^{3}}{4}+\ldots \ldots\right)} =lim⁡y→02−4y2!+8y23!−……1−y2+y23−y34+…….=2−0+0−0+……1−0+0−0+…….=21=2=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{2-\frac{4 y}{2!}+\frac{8 y^{2}}{3!}-\ldots \ldots}{1-\frac{y}{2}+\frac{y^{2}}{3}-\frac{y^{3}}{4}+\ldots \ldots .}=\frac{2-0+0-0+\ldots \ldots}{1-0+0-0+\ldots \ldots .}=\frac{2}{1}=2 lim⁡y→01−g(y)h(y)=2\lim_{y \rightarrow 0} \frac{1-g(y)}{h(y)}=2. নির্ণেয় মান : 2.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন