Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষ [গণিত] দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

(i) y=(cos⁡−1x)2y=\left(\cos^{-1} x\right)^{2}, (ii) f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}.

ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, y=x+1xy=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=12x−12+(−12)−32\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{\frac{-3}{2}} বা, 2xdydx=12⋅2x⋅x−12−12⋅2x⋅x−322 x \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot x^{\frac{-3}{2}} [উভয়পক্ষ 2x2 x দ্বারা গুণ করে] বা, 2xdydx=x12−x−122 x \frac{d y}{d x}=x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}} বা, 2xdydx+y=x12−x−12+y2 x \frac{d y}{d x}+y=x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}+y বা. 2xdydx+y=x+1x+x−1x2 x \frac{d y}{d x}+y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} ∴2xdydx+y=2x\therefore \quad 2 x \frac{d y}{d x}+y=2 \sqrt{x}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, y=(cos⁡−1x)2\mathrm{y}=\left(\cos^{-1} \mathrm{x}\right)^{2} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=2cos⁡−1x×−11−x2y_{1}=2 \cos^{-1} x \times \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} বা, 1−x2y1=−2cos⁡−1x\sqrt{1-x^{2}} y_{1}=-2 \cos^{-1} x বা, (1−x2)y12=4(cos⁡−1x)2\left(1-x^{2}\right) y_{1}{ }^{2}=4\left(\cos^{-1} x\right)^{2} [বর্গ করে] বা, (1−x2)y12=4y[∵y=(cos⁡−1x)2]\left(1-x^{2}\right) y_{1}{ }^{2}=4 y\left[\because y=\left(\cos^{-1} x\right)^{2}\right] আবার, xx এন্র সাপেক্ষে অন্তর্রীকরণ করে পাই, (1−x2)×2y1y2+y12(0−2x)=4y1\left(1-x^{2}\right) \times 2 y_{1} y_{2}+y_{1}{ }^{2}(0-2 x)=4 y_{1} বা, 2(1−x2)y1y2−2xy12=4y12\left(1-x^{2}\right) y_{1} y_{2}-2 x y_{1}{ }^{2}=4 y_{1} ∴(1−x2)y2−xy1=2\therefore\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}=2. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x} ∴f′(x)=1−1x2,f′′(x)=0−−2x3=2x3\therefore f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}}, \quad f^{\prime \prime}(x)=0-\frac{-2}{x^{3}}=\frac{2}{x^{3}} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 বা, 1−1x2=01-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}=0 বা, 1=1x21=\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} বা, x2=1∴x=±1\mathrm{x}^{2}=1 \quad \therefore \mathrm{x}= \pm 1 x=−1\mathrm{x}=-1 হলে, f^{\prime \prime}(-1)=\frac{2}{(-1}^{3}}=-2<0 ∴x=−1\therefore \quad x=-1 এর জন্য ফাংশনটির গুরুমান পাওয়া যাবে। ∴\therefore গুরুমান =f(−1)=−1+1−1=−2=f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2 আবার, x=1\mathrm{x}=1 হলে, f′′(1)=213=2>0f^{\prime \prime}(1)=\frac{2}{1^{3}}=2>0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া যারে। ∴\therefore \quad লঘুমান =f(1)=1+11=2=f(1)=1+\frac{1}{1}=2 যেহেডু −2<2-2<2; সেহেতু গুরুমান < লঘুমান। অর্থাৎ, ফাংশনটির গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন