Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

মান নির্ণয় কর : [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] रक्, [গণিত] নির্ণেয় : [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

মান নির্ণয় কর : .

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x.

Sylhet · 2023

উত্তর

lim⁡x→0x21−cos⁡ax\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos a x} =lim⁡x→0x21−cos⁡(2×ax2)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos \left(2 \times \frac{a x}{2}\right)} =lim⁡x→0x22sin⁡2ax2=12lim⁡x→0(ax2sin⁡ax2)2⋅4a2=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{2 \sin^{2} \frac{a x}{2}}=\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\frac{a x}{2}}{\sin \frac{a x}{2}}\right)^{2} \cdot \frac{4}{a^{2}} −2a2lim⁡2→0(ax2sin⁡ax2)2[∵x→0-\frac{2}{a^{2}} \frac{\lim_{2} \rightarrow 0}{}\left(\frac{\frac{a x}{2}}{\sin \frac{a x}{2}}\right)^{2}\left[\because x \rightarrow 0\right. रक्, ax2→0]\left.\frac{a x}{2} \rightarrow 0\right] =2a2⋅12[∵lim⁡θ→0θsin⁡θ=1]=\frac{2}{a^{2}} \cdot 1^{2}\left[\because \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{\sin \theta}=1\right] =2a2⋅12=2a2=\frac{2}{a^{2}} \cdot 1^{2}=\frac{2}{a^{2}} নির্ণেয় : 2a2\frac{2}{\mathrm{a}^{2}}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f{f(x)}=f(sin⁡x)=sin⁡(sin⁡x)f\{f(x)\}=f(\sin x)=\sin (\sin x) আবার, y=f{f(x)}\mathrm{y}=f\{f(\mathrm{x})\} বা, y=sin⁡(sin⁡x)y=\sin (\sin x) x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddxsin⁡(sin⁡x)\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \sin (\sin x) বা, dydx=cos⁡(sin⁡x)×ddxsin⁡x=cos⁡(sin⁡x)×cos⁡x\frac{d y}{d x}=\cos (\sin x) \times \frac{d}{d x} \sin x=\cos (\sin x) \times \cos x বা, ddx(dydx)=ddx[cos⁡x×cos⁡(sin⁡x)]\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}[\cos x \times \cos (\sin x)] [পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, d2ydx22=cos⁡xddxcos⁡(sin⁡x)+cos⁡(sin⁡x)ddxcos⁡x\frac{d^{2} y}{{d x^{2}}^{2}}=\cos x \frac{d}{d x} \cos (\sin x)+\cos (\sin x) \frac{d}{d x} \cos x বা, d2ydx2=cos⁡x{−sin⁡(sin⁡x)cos⁡x}+cos⁡(sin⁡x)(−sin⁡x)\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\cos x\{-\sin (\sin x) \cos x\}+\cos (\sin x)(-\sin x) বা, d2ydx2=−cos⁡2xsin⁡(sin⁡x)−sin⁡xcos⁡xcos⁡(sin⁡x)⋅cos⁡x\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\cos^{2} x \sin (\sin x)-\frac{\sin x}{\cos x} \cos (\sin x) \cdot \cos x বা, d2ydx2=−ycos⁡2x−tan⁡xdydx=−y(1−sin⁡2x)−dydxtan⁡x\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-y \cos^{2} x-\tan x \frac{d y}{d x}=-y\left(1-\sin^{2} x\right)-\frac{d y}{d x} \tan x বা, d2ydx2=−y[1−{f(x)}2]−dydxtan⁡x\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=-\mathrm{y}\left[1-\{f(\mathrm{x})\}^{2}\right]-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \tan \mathrm{x} ∴d2ydx2+dydxtan⁡x+[1−{f(x)}2]y=0\therefore \quad \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \tan \mathrm{x}+\left[1-\{f(\mathrm{x})\}^{2}\right] \mathrm{y}=0. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f(π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡xf\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x ধরি, g(x)=3+2f(x)+3{f(π2−x)}2;0≤x≤π2g(x)=3+2 f(x)+3\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{2} ; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} =3+2sin⁡x+3cos⁡2x;0≤x≤π2=3+2 \sin x+3 \cos^{2} x ; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} ∴g′(x)=0+2cos⁡x+3⋅2cos⁡x(−sin⁡x)\therefore \quad g^{\prime}(x)=0+2 \cos x+3 \cdot 2 \cos x(-\sin x) =2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=2 \cos x-6 \sin x \cos x ∴g′′(x)=−2sin⁡x−6{sin⁡x(−sin⁡x)+cos⁡x×cos⁡x}\therefore \quad g^{\prime \prime}(x)=-2 \sin x-6\{\sin x(-\sin x)+\cos x \times \cos x\} =−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)=-2 \sin x-6\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right) চরমমানের জন্য, g′(x)=0\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=0 বা, 2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=02 \cos x-6 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x−3sin⁡xcos⁡x=0\cos x-3 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\cos x(1-3 \sin x)=0 ∴cos⁡x=0\therefore \quad \cos x=0. বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} ∴x=π2\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\pi}{2} অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 বা, 1=3sin⁡x1=3 \sin \mathrm{x} বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} ∴x=sin⁡−1(13)\therefore \quad x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) এখানে, cos⁡x=0\cos x=0 বা, cos⁡2x=0\cos^{2} x=0 বা, 1−sin⁡2x=01-\sin^{2} x=0 বা, sin⁡2x=1\sin^{2} x=1 বা, sin⁡x=1[∵0≤x≤π2;\sin x=1\left[\because 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} ;\right., তাই ঋণাত্মক বর্জন করে] এখন, cos⁡x=0\cos x=0 এবং sin⁡x=1\sin x=1 হলে, g′′(x)=−2×1−6(0−1)\mathrm{g}^{\prime \prime}(\mathrm{x}) =-2 \times 1-6(0-1) =−2+6=4>0=-2+6=4>0 ∴x=π2\therefore \quad x=\frac{\pi}{2} এর জন্য g(x)g(x) ফাংশনের লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, ফাংশনটির লঘুমান =g(π2)=\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}\right) =3+2sin⁡π2+3cos⁡2π2=3+2 \sin \frac{\pi}{2}+3 \cos^{2} \frac{\pi}{2} =3+2×1+3+0=3+2=5=3+2 \times 1+3+0=3+2=5 আবার, x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} হলে, g′′(x)=−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)g^{\prime \prime}(x) =-2 \sin x-6\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right) =−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)=-2 \sin x-6\left(1-2 \sin^{2} x\right) =−2×13−6{1−2(13)2}=-2 \times \frac{1}{3}-6\left\{1-2\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\} =−23−6(1−2×19)=-\frac{2}{3}-6\left(1-2 \times \frac{1}{9}\right) =−23−6+43=−2−18+43=−163<0=-\frac{2}{3}-6+\frac{4}{3}=\frac{-2-18+4}{3}=-\frac{16}{3}<0 ∴x=sin⁡−113\therefore x=\sin^{-1} \frac{1}{3} এর জন্য g(x)g(x) ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। অতএব ফাংশনটির গুরুমান =g(sin⁡−113)=g\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right) =3+2sin⁡sin⁡−113+3{1−(sin⁡sin⁡−113)2}=3+2 \sin \sin^{-1} \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\sin \sin^{-1} \frac{1}{3}\right)^{2}\right\} =3+2×13+3{1−(13)2}=3+2 \times \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\} =3+23+3(1−19)=3+23+3×89=3+\frac{2}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right)=3+\frac{2}{3}+3 \times \frac{8}{9} =3+23+83=9+2+83=193=613=3+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{9+2+8}{3}=\frac{19}{3}=6 \frac{1}{3} নির্ণেয় গুরুমান 6136 \frac{1}{3} এবং লঘুমান 5 .
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন