Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] . (c) বক্রেরেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল c।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বক্ররেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, (a, b) বিন্দুটি (i) নং এর স্পর্শ বিন্দু [গণিত] (ii) (i) নং কে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] (a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা ভাগ করে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(ii) নং হতে] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, [গণিত] স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল [গণিত] যা একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, . (c) বক্রেরেখার বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=xf(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}. দৃশ্যকল্প-২: h(x)=sin⁡xh(x)=\sin x.

Dinajpur · 2023

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−11−x21+x2y=\cos^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} আবার, ধরি, x=tan⁡θx=\tan \theta ∴θ=tan⁡−1x\therefore \quad \theta=\tan^{-1} x ∴y=cos⁡−11−tan⁡2θ1+tan⁡2θ\therefore \quad y =\cos^{-1} \frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan^{2} \theta} =cos⁡−1(cos⁡2θ)=2θ=2tan⁡−1x=\cos^{-1}(\cos 2 \theta)=2 \theta=2 \tan^{-1} x x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(2tan⁡−1x)\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(2 \tan^{-1} x\right) =2ddx(tan⁡−1x)=2 \frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) =2×11+x2=2 \times \frac{1}{1+x^{2}} =21+x2=\frac{2}{1+x^{2}} নির্ণেয় অন্তরজ : 21+x2\frac{2}{1+x^{2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=xf(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}} ∴f(y)=y,f(c)=c\therefore \quad f(\mathrm{y})=\sqrt{\mathrm{y}}, f(\mathrm{c})=\sqrt{\mathrm{c}} বক্ররেখার সমীকরণ, f(x)+f(y)=f(c)f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=f(\mathrm{c}) বা, x+y=c…(i)\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}=\sqrt{\mathrm{c}} \ldots (i) আবার, (a, b) বিন্দুটি (i) নং এর স্পর্শ বিন্দু ∴a+b=c\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}
……(ii)(i)\ldots\ldots (ii) (i)
নং কে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(x+y)=ddx(c)\frac{d}{d x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{d x}(\sqrt{c}) বা, ddx(x12)+ddx(y12)=0\frac{d}{d x}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0. বা, 12x−12+12y−12dydx=0\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1x+1ydydx=0\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1ydydx=−1x\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}} ∴dydx=−yx\therefore \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} (a,b)(a, b) বিন্দুতে dydx=(dydx)(a,b)=−ba\frac{d y}{d x}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)}=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} (a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=(dydx)(a,b)(x−x1)y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)}\left(x-x_{1}\right) বা, y−b=−ba(x−a)y-b=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}(x-a) বা, ay−ab=−bx+ab\sqrt{a} y-\sqrt{a b}=-\sqrt{b} x+a \sqrt{b} বা, bx+ay=ab+ab\sqrt{b} x+\sqrt{a} y=a \sqrt{b}+\sqrt{a b} বা, bx+ayab=ab+abab[ab\frac{\sqrt{b} x+\sqrt{a y}}{\sqrt{a} \sqrt{b}}=\frac{a \sqrt{b}+\sqrt{a b}}{\sqrt{a} \sqrt{b}}[\sqrt{a} \sqrt{b} দ্বারা ভাগ করে ]] বা, xa+yb=a+b\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{b}}}=\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}} বা, xa+yb=c\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{b}}}=\sqrt{\mathrm{c}} [(ii) নং হতে] এখন, y=0y=0 হলে, xx অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, x=acx=\sqrt{a} \sqrt{c} x=0x=0 হলে, yy অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, y=bcy=\sqrt{b} \sqrt{c} ∴\therefore \quad স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল =ac+bc=\sqrt{a} \sqrt{c}+\sqrt{b} \sqrt{c} =c(a+b)=\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) =c⋅c=\sqrt{c} \cdot \sqrt{c} =c;=c ; যা একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=sin⁡x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং y=1+2 h(x)+3[1−{h(x)}2]\mathrm{y}=1+2 \mathrm{~h}(\mathrm{x})+3\left[1-\{\mathrm{h}(\mathrm{x})\}^{2}\right]; যখন 0≤x≤π20 \leq \mathrm{x} \leq \frac{\pi}{2} =1+2sin⁡x+3[1−sin⁡2x]=1+2 \sin x+3\left[1-\sin^{2} x\right] =1+2sin⁡x+3cos⁡2x=1+2 \sin x+3 \cos^{2} x ∴dydx=0+2cos⁡x+3×2cos⁡x(−sin⁡x)\therefore \quad \frac{d y}{d x}=0+2 \cos x+3 \times 2 \cos x(-\sin x) [x-এ র সাপেক্ষে অন্তনীকরল করে] =2cos⁡x−6sin⁡x⋅cos⁡x=2 \cos x-6 \sin x \cdot \cos x ∴d2ydx2=2(−sin⁡x)−6{sin⁡x(−sin⁡x)+cos⁡x×cos⁡x}\therefore \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2(-\sin x)-6\{\sin x(-\sin x)+\cos x \times \cos x\} [পুণরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] =−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)=-2 \sin x-6\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right) চরমমানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=02 \cos x-6 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x−3sin⁡xcos⁡x=0\cos x-3 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\cos x(1-3 \sin x)=0 বা, cos⁡x=0\cos x=0 অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} বা, 1=3sin⁡x1=3 \sin x ∴x=π2\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\pi}{2} বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} ∴x=sin⁡−1(13)\therefore \quad x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) এখানে, cos⁡x=0\cos x=0 বা, cos⁡2x=0\cos^{2} x=0 বা, 1−sin⁡2x=01-\sin^{2} x=0 বা, sin⁡2x=1\sin^{2} x=1 ∴sin⁡x=1[∵0≤x≤π2\therefore \sin x=1 \quad\left[\because 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right.; তাই ঋণাত্মক বর্জন করে]. cos⁡x=0\cos x=0 এ sin⁡x=1\sin x=1 হলে, d2ydx2=−2×1−6(0−1)=−2+6=4>0\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2 \times 1-6(0-1)=-2+6=4>0 x=π2x=\frac{\pi}{2} তে yy ফাংশনের লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, ফাংশনটির লঘুমান =1+2sin⁡π2+3cos⁡2π2=1+2 \sin \frac{\pi}{2}+3 \cos^{2} \frac{\pi}{2} =1+2×1+3×0=3=1+2 \times 1+3 \times 0=3 আবার, x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} ব!, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} হলে, d2ydx2=−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2 \sin x-6\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right) ∴(d2ydx2)x=sin⁡−113=−2×13−6(1−2×19)\therefore \quad\left(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}\right)_{\mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{1}{3}}=-2 \times \frac{1}{3}-6\left(1-2 \times \frac{1}{9}\right) =−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)=-2 \sin x-6\left(1-2 \sin^{2} x\right) =−23−6+43=−2−18+43=−163<0=-\frac{2}{3}-6+\frac{4}{3}=\frac{-2-18+4}{3}=-\frac{16}{3}<0 ∴x=sin⁡−113\therefore x=\sin^{-1} \frac{1}{3} তে yy ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। অতএব, ফাংশনটির গুরুমান =1+2sin⁡sin⁡−113+3{1−(sin⁡sin⁡−113)2}=1+2 \sin \sin^{-1} \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\sin \sin^{-1} \frac{1}{3}\right)^{2}\right\} =1+2×13+3{1−(13)2}=1+2 \times \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\} =1+23+3(1−19)=1+\frac{2}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right) =1+23+83=3+2+83=133=413=1+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{3+2+8}{3}=\frac{13}{3}=4 \frac{1}{3} নির্ণেয় গুরুমান 4134 \frac{1}{3} এবং লঘুমান 3 .
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন