Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমান করো যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ।

উত্তর: ধরি , [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমান করো যে, , যেখানে একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ।

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং g(x)=x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}.

Barisal · 2021

উত্তর

ধরি , x=asin⁡θx=a \sin \theta এবং θ=sin⁡−1xa\theta=\sin^{-1} \frac{x}{a} বা, dx=acos⁡θdθ\mathrm{d} x=a \cos \theta \mathrm{d} \theta ∴∫dxa2−x2=∫acos⁡θdθa2−a2sin⁡2θ\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\int \frac{a \cos \theta \mathrm{d} \theta}{\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin^{2} \theta}} =∫acos⁡θdθa2(1−sin⁡2θ)=\int \frac{a \cos \theta d \theta}{\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2} \theta\right)}} =∫acos⁡θdθa2cos⁡2θ=\int \frac{a \cos \theta d \theta}{\sqrt{a^{2} \cos^{2} \theta}} =∫acos⁡θdθacos⁡θ=\int \frac{a \cos \theta d \theta}{a \cos \theta} =∫dθ=\int \mathrm{d} \theta =θ+c=sin⁡−1Xa+c=\theta+\mathrm{c}=\sin^{-1} \frac{X}{a}+\mathrm{c} ∴∫dxa2−x2=sin⁡−1xa+c\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin^{-1} \frac{x}{a}+\mathrm{c}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x বা, f(2x)=sin⁡2xf(2 x)=\sin 2 x বা, f(π2−2x)=sin⁡(π2−2x)=cos⁡2xf\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cos 2 x আবার, g(x)=f(2x)f(π2−2x)g(x)=\frac{f(2 x)}{f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)} ⇒g(x)=sin⁡2xcos⁡2x\Rightarrow g(x)=\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} ∴g(x)=tan⁡2x\therefore g(x)=\tan 2 x ∴g(x+h)=tan⁡2(x+h)=tan⁡(2x+2h)\therefore g(x+h)=\tan 2(x+h)=\tan (2 x+2 h) অন্তরীকরনের মূল নিয়মানুসারে , ddx{g(x)}=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\{g(x)\}=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} ∴ddx(tan⁡2x)=lim⁡h→0tan⁡(2x+2h)−tan⁡2xh\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\tan 2 x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x+2 h)-\tan 2 x}{h} =lim⁡h→01h{sin⁡(2x+2h)cos⁡(2x+2h)−sin⁡2xcos⁡2x}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{\sin (2 x+2 h)}{\cos (2 x+2 h)}-\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}\right\} =lim⁡h→01hsin⁡{(2x+2h)−2x}cos⁡2xcos⁡(2x+2h)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{\sin \{(2 x+2 h)-2 x\}}{\cos 2 x \cos (2 x+2 h)} [∵sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B]{[\because \sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B]} =lim⁡h→01hsin⁡(2x+2h−2x)cos⁡2xcos⁡(2x+2h)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{\sin (2 x+2 h-2 x)}{\cos 2 x \cos (2 x+2 h)} =lim⁡h→01hsin⁡2hcos⁡2xcos⁡(2x+2h)=\lim_{h \rightarrow 0} \quad \frac{1}{h} \frac{\sin 2 h}{\cos 2 x \cos (2 x+2 h)} =lim⁡h→0sin⁡2h2h×2×lim⁡h→01cos⁡2xcos⁡(2x+2h)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin 2 h}{2 h} \times 2 \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2 x \cos (2 x+2 h)} =1×2×1cos⁡2x⋅cos⁡2x=1 \times 2 \times \frac{1}{\cos 2 x \cdot \cos 2 x} =2×1cos⁡22x=2sec⁡22x=2 \times \frac{1}{\cos^{2} 2 x}=2 \sec^{2} 2 x ∴ddx(tan⁡2x)=2sec⁡22x\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\tan 2 x)=2 \sec^{2} 2 x (Ans)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x\quad g(x)=\sqrt{x} আবার, f(x)=2ln⁡{g(x)}{g(x)}2f(x)=\frac{2 \ln \{g(x)\}}{\{g(x)\}^{2}} =2ln⁡x(x)2=\frac{2 \ln \sqrt{x}}{(\sqrt{x})^{2}} =ln⁡(x)2x=ln⁡xx=\frac{\ln (\sqrt{x})^{2}}{x}=\frac{\ln x}{x} ∴f(x)=x⋅ddx(ln⁡x)−ln⁡x⋅ddx(x)x2\therefore f(x)=\frac{x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\ln x)-\ln x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x)}{x^{2}} =x1x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2=\frac{x^{\frac{1}{x}}-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}} ∴f′(x)=x2⋅ddx(1−ln⁡x)−(1−ln⁡x)⋅ddx(x2)x4\therefore f^{\prime}(x)=\frac{x^{2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(1-\ln x)-(1-\ln x) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(x^{2}\right)}{x^{4}} =x2(0−1x)−(1−ln⁡x)⋅2xx4=\frac{x^{2}\left(0-\frac{1}{x}\right)-(1-\ln x) \cdot 2 x}{x^{4}} =−x−2x+2xln⁡xx4=\frac{-x-2 x+2 x \ln x}{x^{4}} =2xln⁡x−3xx4=2ln⁡x−3x3=\frac{2 x \ln x-3 x}{x^{4}}=\frac{2 \ln x-3}{x^{3}} এখन, f(x)=0f(x)=0 বা, 1−ln⁡xx2=0\frac{1-\ln x}{x^{2}}=0 বা, 1−ln⁡x=01-\ln x=0 বা, ln⁡x=1\ln x=1 বা, eln⁡x=e1\mathrm{e}^{\ln x}=\mathrm{e}^{1} ∴x=e\therefore x=\mathrm{e} \quad [যেহেতু eln⁡x=x\mathrm{e}^{\ln x}=x ] ∴x=e\therefore x=\mathrm{e} হলে, f′(e)=2ln⁡e−3e3f^{\prime}(\mathrm{e})=\frac{2 \ln \mathrm{e}-3}{\mathrm{e}^{3}} =2−3e3=−1e3<0=\frac{2-3}{\mathrm{e}^{3}}=\frac{-1}{\mathrm{e}^{3}}<0 ∴x=e\therefore x=\mathrm{e} এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ । ∴\therefore সর্বোচ্চ মান f(e)= lne e=1ef(e)=\frac{\text{ lne }}{\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}} \quad [Showed]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন