Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

Iny [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং In [গণিত] বা, In [গণিত] বা, [গণিত] [x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

Iny হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡−12xf(x)=\cos^{-1} 2 x

Sylhet · 2019

উত্তর

দেয়া আছে, f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} ∴esin⁡{f(x)}=esin⁡{cos⁡−12x}\therefore e^{\sin \{f(x)\}}=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} ∴ddx\therefore \frac{d}{d x} ={esin⁡{cos⁡−12x}}=esin⁡{cos⁡−12x}×ddxsin⁡(cos⁡−12x)=\left\{e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}}\right\}=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} \times \frac{d}{d x} \sin \left(\cos^{-1} 2 x\right) =esin⁡{cos⁡−12x}×cos⁡(cos⁡−12x)×ddx(cos⁡−12x)=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} \times \cos \left(\cos^{-1} 2 x\right) \times \frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} 2 x\right) =esin⁡(cos⁡−12x)×2x×−11−2x2×ddx(2x)=e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)} \times 2 x \times \frac{-1}{\sqrt{1-2 x^2}} \times \frac{d}{d x}(2 x) =esin⁡(cos⁡−12x)×−2x1−4x2×2=e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)} \times \frac{-2 x}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 =−4xesin⁡(cos⁡−12x)1−4x2=\frac{-4 x e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)}}{\sqrt{1-4 x^2}} নির্ণেয় অন্তরজ −4xesin⁡(cos⁡−12x)1−4x2\frac{-4 x e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)}}{\sqrt{1-4 x^2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} এবং In y=f(x)\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}) বা, In y=cos⁡−12xy=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} বা, 1yy1=−11−4x2×2\frac{1}{y} y_1=\frac{-1}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 [x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, y11−4x2=−2yy_1 \sqrt{1-4 x^2}=-2 \mathrm{y} বা, y12(1−4x2)=4y2y_1^2\left(1-4 x^2\right)=4 y^2 বা, (1−4x2)×2y1y2+y12(0−8x)=4×2yy1\left(1-4 x^2\right) \times 2 y_1 y_2+y_1^2(0-8 \mathrm{x})=4 \times 2 y y_1 [পুনরায় x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, (1−4x2)y2−4xy1=4y\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) y_2-4 \mathrm{x} y_1=4 \mathrm{y} ∴(1−4x2)y2−4xy1−4y=0\therefore\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) y_2-4 \mathrm{x} y_1-4 \mathrm{y}=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} প্রদত্ত রাশি =∫xf(x)dx=\int x f(x) d x =∫xcos⁡−12xdx=\int x \cos^{-1} 2 x d x =cos⁡−12x∫xdx−{ddx(cos⁡−12x)∫xdx}dx=\cos^{-1} 2 x \int x d x-\left\{\frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} 2 x\right) \int x d x\right\} d x =12x2cos⁡−12x−∫−11−4x2×2×x22dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\int \frac{-1}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 \times \frac{x^2}{2} d x =12x2cos⁡−12x+∫x21−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x+\int \frac{x^2}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x2−11−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \frac{1-4 x^2-1}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x21−4x2dx+14∫11−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \frac{1-4 x^2}{\sqrt{1-4 x^2}} d x+\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x2dx+18∫1(12)2−x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \sqrt{1-4 x^2} d x+\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2}-x^2} d x =12x2cos⁡−12x−14×2∫(12)2−x2dx+18sin⁡−1×(x12)=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \times 2 \int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-x^2} d x+\frac{1}{8} \sin^{-1} \times\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right) =12x2cos⁡−12x−12[x(12)2−x22+(12)22sin⁡−1(x12)]+18sin⁡−1(2x)+c[∵∫a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{2}\left[\frac{x \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-x^2}}{2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)\right]+\frac{1}{8} \sin^{-1}(2 x)+c\left[\because \int \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =12x2cos⁡−12x−12×x21−4x22−12×18sin⁡−1(2x)+c=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{2} \times \frac{\frac{x}{2} \sqrt{1-4 x^2}}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \sin^{-1}(2 x)+c =12x2cos⁡−12x−x1−4x28+116sin⁡−1(2x)+c=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{x \sqrt{1-4 x^2}}{8}+\frac{1}{16} \sin^{-1}(2 x)+c ∴∫Xf(x)dx=12x2cos⁡−12x−x1−4x28+116sin⁡−1(2x)+c\therefore \int_{\mathrm{X}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{x \sqrt{1-4 x^2}}{8}+\frac{1}{16} \sin^{-1}(2 x)+c
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন