Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। [গণিত] গুরুমান [গণিত] (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=ln⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x} এবং g(x)=ex\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}

Dinajpur · 2017

উত্তর

lim⁡x→0e2x−1ax=lim⁡x→01+2x+(2x)22!+………….1ax=lim⁡x→0x(2+2x+………..)ax=lim⁡x→02+2x+…………..a=lim⁡x→02a(1+x+………..)=2a (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{a x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+2 x+\frac{(2 x)^2}{2!}+\ldots \ldots \ldots \ldots .1}{a x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2+2 x+\ldots \ldots \ldots . .)}{a x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2+2 x+\ldots \ldots \ldots \ldots . .}{a} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{a}(1+x+\ldots \ldots \ldots . .) \\ & =\frac{2}{a} \text{ (Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ln⁡x∴f(2x)=ln⁡2x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x} \quad \therefore \mathrm{f}(2 \mathrm{x})=\ln 2 \mathrm{x} ধরি, y=f(2x)x=ln⁡2xxy=\frac{f(2 x)}{x}=\frac{\ln 2 x}{x} ∴dydx=xddxln⁡2x−ln⁡2xddxxx2\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \ln 2 \mathrm{x}-\ln 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} =x⋅12x⋅2−ln⁡2x⋅1x2=1−ln⁡2xx2=\frac{x \cdot \frac{1}{2 x} \cdot 2-\ln 2 x \cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln 2 x}{x^2} আবার, d2ydx2=x2ddx(1−ln⁡2x)−(1−ln⁡2x)ddxx2(x2)2\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{x^2 \frac{d}{d x}(1-\ln 2 x)-(1-\ln 2 x) \frac{d}{d x} x^2}{\left(x^2\right)^2} =x2(−12x⋅2)−(1−ln⁡2x)⋅2xx4=\frac{x^2\left(\frac{-1}{2 x} \cdot 2\right)-(1-\ln 2 x) \cdot 2 x}{x^4} =−x−2x(1−ln⁡2x)x4=\frac{-x-2 x(1-\ln 2 x)}{x^4} =−1−2+2ln⁡2xx3=\frac{-1-2+2 \ln 2 x}{x^3} =−3+2ln⁡2xx3=\frac{-3+2 \ln 2 x}{x^3} লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−ln⁡2xx2=0\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}=0 বা, 1=ln⁡2x1=\ln 2 x বা, ln⁡2x=ln⁡e\ln 2 x=\ln e বা, 2x=e∴x=e22 x=e \quad \therefore x=\frac{e}{2} x=e2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} হলে, d2ydx2=−3+2ln⁡2⋅e2(e2)3=−1e38=−8e3<0\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{-3+2 \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{e}}{2}\right)^3}=\frac{-1}{\frac{\mathrm{e}^3}{8}}=\frac{-8}{\mathrm{e}^3}<0 x=e2x=\frac{\mathrm{e}}{2} এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমান =ln⁡2⋅e2e2=1e2=2e=\frac{\ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{2}{\mathrm{e}} (Ans.)

উত্তর

ধরি, ln⁡x=z\ln x=z ∴1xdx=dz\therefore \frac{1}{x} d x=d z question image ∫1e2f(x)xdx+∫12g(x)dx=∫1e2ln⁡xxdx+∫12exdx=∫02zdz+[ex]12=[z22]02+(e2−e1)=42+e2−e=2+e2−e (Ans.) \begin{aligned} & \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} d x+\int_1^2 g(x) d x \\ & =\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} d x+\int_1^2 e^x d x \\ & =\int_0^2 z d z+\left[e^x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^2+\left(e^2-e^1\right) \\ & =\frac{4}{2}+\mathrm{e}^2-\mathrm{e}=2+\mathrm{e}^2-\mathrm{e} \text{ (Ans.) }\end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন