Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] প্রদত্ত উপবৃত্ত, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] '+' চিহ্ন নিয়ে, [গণিত] -অক্ষের উপরের অংশে [গণিত] ধনাত্মক] [গণিত] উপবৃত্তের AOB অংশের ক্ষেত্রফল, [গণিত] বর্গ একক [গণিত] সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

y=sin⁡(msin⁡−1x)y=\sin \left(\mathrm{m} \mathrm{\sin}^{-1} x\right) এবং উপবৃত্ত x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, y=cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡xy=\frac{\cos x-\cos 2 x}{1-\cos x} বা, y=cos⁡x−(cos⁡2x−sin⁡2x)(1−cos⁡x)[∵cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x]y=\frac{\cos x-\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)}{(1-\cos x)}\left[\because \cos 2 x=\cos^2 x-\sin^2 x\right] বা, y=cos⁡x−cos⁡2x+sin⁡2x(1−cos⁡x)y=\frac{\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x}{(1-\cos x)} বা, y=cos⁡x(1−cos⁡x)+(1−cos⁡2x)(1−cos⁡x)y=\frac{\cos x(1-\cos x)+\left(1-\cos^2 x\right)}{(1-\cos x)} বা, y=(1−cos⁡x)(cos⁡x+1+cos⁡x)(1−cos⁡x)y=\frac{(1-\cos x)(\cos x+1+\cos x)}{(1-\cos x)} ∴y=2cos⁡x+1\therefore \quad y=2 \cos x+1 dydx=ddx(2cos⁡x+1)=2(−sin⁡x)+0=−2sin⁡x\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(2 \cos x+1)=2(-\sin x)+0=-2 \sin x ∴ddx(cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡x)=−2sin⁡x.\therefore \quad \frac{d}{d x}\left(\frac{\cos x-\cos 2 x}{1-\cos x}\right)=-2 \sin x .

উত্তর

দেওয়া আছে, y=sin⁡(msin⁡−1x)\mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{m} \sin^{-1} \mathrm{x}\right) বা, dydx=ddxsin⁡( msin⁡−1x)\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \sin \left(\mathrm{~m} \mathrm{\sin}^{-1} x\right) [ xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, dydx=cos⁡(msin⁡−1x)×ddx(msin⁡−1x)\frac{d y}{d x}=\cos \left(m \sin^{-1} x\right) \times \frac{d}{d x}\left(m \sin^{-1} x\right) বা, dydx=cos⁡2(msin⁡−1x)×m11−x2\frac{d y}{d x}=\sqrt{\cos^2\left(m \sin^{-1} x\right)} \times m \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} বা, dydx=1−sin⁡2(msin⁡−1x)×m1−x2=1−y2×m1−x2\frac{d y}{d x}=\sqrt{1-\sin^2\left(m \sin^{-1} x\right)} \times \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-y^2} \times \frac{m}{\sqrt{1-x^2}} বা, 1−x2dydx=m1−y2\sqrt{1-x^2} \frac{d y}{d x}=m \sqrt{1-y^2} বা, (1−x2)(dydx)2=m2(1−y2)\left(1-x^2\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=m^2\left(1-y^2\right) [বর্গ করে] বা, (1−x2)⋅2dydx⋅d2ydx2+(dydx)2(0−2x)=m2(0−2ydydx)\left(1-x^2\right) \cdot 2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2(0-2 x)=m^2\left(0-2 y \frac{d y}{d x}\right) [পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, (1−x2)d2ydx2−xdydx=−m2y\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}=-m^2 y ∴(1−x2)d2ydx2−xdy(dx)+m2y=0\therefore \quad\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{(d x)}+m^2 y=0 (দেখানো হলো)

উত্তর

question image প্রদত্ত উপবৃত্ত, x2a2+y2 b2=1\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1 বা, y2b2=1−x2a2\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2} বা, y2=b2(1−x2a2)=b2a2(a2−x2)y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right) বা, y=±baa2−x2y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} '+' চিহ্ন নিয়ে, y=baa2−x2[∵xy=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}[\because x-অক্ষের উপরের অংশে yy ধনাত্মক] ∴\therefore উপবৃত্তের AOB অংশের ক্ষেত্রফল, ∫0aydx=∫0abaa2−x2dx=ba∫0aa2−x2dx=ba[xa2−x22+a22sin⁡−1xa]0a\int_0^a y d x =\int_0^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{b}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{b}{a}\left[\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}\right]_0^a =ba[(0+a22sin⁡−11)−(0+a22sin⁡−10)]=\frac{b}{a}\left[\left(0+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} 1\right)-\left(0+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} 0\right)\right] =ba⋅a22⋅π2=14πab=\frac{b}{a} \cdot \frac{a 2}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{1}{4} \pi a b বর্গ একক ∴\therefore সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল =4×14πab=4 \times \frac{1}{4} \pi \mathrm{ab} বর্গ একক =πab=\pi \mathrm{ab} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন