Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সরলরেখা এবং পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া অছে, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) এবং [গণিত] (i)নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখানে, [গণিত] এর সীমা 1 থেকে 2 ধরি, [গণিত] পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বগ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রে [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

সরলরেখা এবং পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

I1=∫13xtan⁡−1xdx,I2=∫1exln⁡xdxI_1=\int_1^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x, \quad I_2=\int_1^{\sqrt{e}} x \ln x d x এবং x2=yx^2=y একটি পরাবৃত্ত।

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

∫sin⁡2xcos⁡2xdx=12∫2sin⁡2xcos⁡2xdx=12∫(1−cos⁡2x)cos⁡2xdx=12∫(cos⁡2x−cos⁡22x)dx=12∫(cos⁡2xdx−14∫2cos⁡22xdx=12∫cos⁡2xdx−14∫(1+cos⁡4x)dx=14sin⁡2x−14(x+14sin⁡4x)+c.\begin{aligned} & \int \sin^2 x \cos 2 x d x \\ & =\frac{1}{2} \int 2 \sin^2 x \cos 2 x d x=\frac{1}{2} \int(1-\cos 2 x) \cos 2 x d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(\cos 2 x-\cos^2 2 x\right) d x=\frac{1}{2} \int\left(\cos 2 x d x-\frac{1}{4} \int 2 \cos^2 2 x d x\right. \\ & =\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x-\frac{1}{4} \int(1+\cos 4 x) d x \\ & =\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+c .\end{aligned}

উত্তর

(i) দেওয়া আছে, I1=∫13xtan⁡−1xdxI_1=\int_1^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x এখানে, ∫xtan⁡−1xdx\int x \tan^{-1} x d x =tan⁡−1x∫xdx−∫{ddx(tan⁡−1x)∫xdx}dx=\tan^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =12x2tan⁡−1x−12∫x21+x2dx=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} d x =12x2tan⁡−1x−12∫1+x2−11+x2dx=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2} d x =12x2tan⁡−1x−12∫dx+12∫dx1+x2=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{1+x^2} =12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x ∴∫13xtan⁡−1xdx=[12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x]13\therefore \int_1^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x=\left[\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} ={12(3)tan⁡−13−12⋅3+12tan⁡−13}=\left\{\frac{1}{2}(3) \tan^{-1} \sqrt{3}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2} \tan^{-1} \sqrt{3}\right\} −(12tan⁡−11−12+12tan⁡−11)-\left(\frac{1}{2} \tan^{-1} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \tan^{-1} 1\right) =(32⋅π3−32+12⋅π3)−(12⋅π4−12+12⋅π4)=\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right) =π2+π6−π4−32+12=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} =5π12−32+12=112(5π−63+6)=\frac{5 \pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6) নির্ণেয় মান : I1=112(5π−63+6)I_1=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6). (ii) দেওয়া আছে, I2=∫1exln⁡xdx\mathrm{I}_2=\int_1^{\sqrt{e}} \mathrm{x} \ln \mathrm{x} d x এখানে, ∫xln⁡xdx=ln⁡x∫xdx−∫{ddx(ln⁡x)∫xdx}dx\int x \ln x d x=\ln x \int_{x d x}-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln x) \int x d x\right\} d x =ln⁡x(x22)−∫1xx22dx=x22ln⁡x−∫x2dx=\ln x\left(\frac{x^2}{2}\right)-\int \frac{1}{x} \frac{x^2}{2} d x=\frac{x^2}{2} \ln x-\int \frac{x}{2} d x =x22ln⁡x−x24=x22(ln⁡x−12)=\frac{x^2}{2} \ln x-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}\left(\ln x-\frac{1}{2}\right) ∴∫1exlog⁡xdx=[x22(ln⁡x−12)]1e\therefore \int_1^{\sqrt{e}} x \log x d x =\left[\frac{x^2}{2}\left(\ln x-\frac{1}{2}\right)\right]_1^{\sqrt{e}} =e2(ln⁡e−12)−12(ln⁡1−12)=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\ln \sqrt{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\ln 1-\frac{1}{2}\right) =e2(12ln⁡e−12)+14=e2(12−12)+14=14=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\frac{1}{2} \ln \mathrm{e}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4} নির্ণেয় মান : I2=14\mathrm{I}_2=\frac{1}{4}.

উত্তর

question image দেওয়া অছে, x2=yx^2=y বা, y=x2y=x^2 …..(i)\ldots.. (i) এবং y=x+2y=x+2 (i)নং সমীকরণে y=x+2y=x+2 বসিয়ে পাই, x+2=x2x+2=x^2 বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0 বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0 বা, x(x−2)+1(x−2)=0x(x-2)+1(x-2)=0 বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 ∴x=−1,2\therefore \quad x=-1,2 এখানে, xx এর সীমা 1 থেকে 2 ধরি, y1=x+2y_1=x+2 y2=x2y_2=x^2 ∴\therefore পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫−12(y1−y2)dx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=\int_{-1}^2\left(y_1-y_2\right) d x=\int_{-1}^2\left(x+2-x^2\right) d x=\left[\frac{x^2}{2}+2 x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2 =(222+2×2−233)−{(−1)22+2×(−1)−(−1)33}=\left(\frac{2^2}{2}+2 \times 2-\frac{2^3}{3}\right)-\left\{\frac{(-1)^2}{2}+2 \times(-1)-\frac{(-1)^3}{3}\right\} =2+4−83−(12−2+13)=6−83−12+2−13=2+4-\frac{8}{3}-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=6-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3} =8−83−12−13=48−16−3−26=276=92=8-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{48-16-3-2}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2} বগ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রে 92\frac{9}{2} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন