Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] কিন্তু [গণিত] গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বনিম্ন হবে। [গণিত] সর্বোচ্চ মান [গণিত] সর্বনিম্ন মান [গণিত] নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান [গণিত] এবং সর্বনিম্ন মান [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

ব্যবধিতে এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=x4−23x3−2x2+2xf(x)=x^4-\frac{2}{3} x^3-2 x^2+2 x এবং g(x)=sin⁡−1xg(x)=\sin^{-1} x.

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=sin⁡−1x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin^{-1} \mathrm{x} y={g(x)}2y=\{g(x)\}^2 হলে, y=(sin⁡−1x)2y=\left(\sin^{-1} x\right)^2 xx এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই, ddxy=ddx(sin⁡−1x)2\frac{d}{d x} y=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right)^2 বা, y1=2(sin⁡−1x)11−x2y_1=2\left(\sin^{-1} x\right) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} বা, y12=4(sin⁡−1x)211−x2y_1^2=4\left(\sin^{-1} x\right)^2 \frac{1}{1-x^2} [বর্গ করে] বা, (1−x2)y12=4.y\left(1-x^2\right) y_1^2=4 . y পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, ddx(1−x2)⋅y12=ddx4y\frac{d}{d x}\left(1-x^2\right) \cdot y_1{ }^2=\frac{d}{d x} 4 y বা, (1−x2)ddxy12+yiddx(1−x2)=4y1\left(1-x^2\right) \frac{d}{d x} y_1^2+y_i \frac{d}{d x}\left(1-x^2\right)=4 y_1 বা, (1−x2)2y1⋅y2+y12(−2x)=4y1\left(1-x^2\right) 2 y_1 \cdot y_2+y_1{ }^2(-2 x)=4 y_1 বা, (1−x2)y2−xy1=2\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=2 ∴(1−x2)y2−xy1−2=0\therefore \quad\left(1-x^2\right) y_2-x y_1-2=0. (দেখানো হলো)

উত্তর

[বি: দ্র: f(x) এর পরিবর্তে g(x) হবে) ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta বা, dx=cos⁡θdθd x=\cos \theta d \theta দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡−1xf(x)=\sin^{-1} x ∴∫xf(x)dx=∫xsin⁡−1xdx\therefore \quad \int \mathrm{x} f(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\int \mathrm{x} \sin^{-1} \mathrm{xdx} =sin⁡−1x∫xdx−∫{ddxsin⁡−1x∫xdx}dx=\sin^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \sin^{-1} x \int x d x\right\} d x =x22sin⁡−1x−∫11−x2⋅x22dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x =x22sin⁡−1x−∫sin⁡2θ21−sin⁡2θcos⁡θdθ=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{\sin^2 \theta}{2 \sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d \theta =x22sin⁡−1x−∫sin⁡2θ2cos⁡θcos⁡θdθ=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{\sin^2 \theta}{2 \cos \theta} \cos \theta d \theta =x22sin⁡−1x−14∫2sin⁡2θdθ=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \int 2 \sin^2 \theta d \theta =x22sin⁡−1x−14∫(1−cos⁡2θ)dθ=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \int(1-\cos 2 \theta) d \theta =x22sin⁡−1x−14(θ−sin⁡2θ2)+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4}\left(\theta-\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)+c =x22sin⁡−1x−14(θ−2sin⁡θcos⁡θ2)+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4}\left(\theta-\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2}\right)+c =x22sin⁡−1x−14θ+14sin⁡θ1−sin⁡2θ+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \theta+\frac{1}{4} \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}+c =x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+14x1−x2+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}+c [∵x=sin⁡θ[\because x=\sin \theta বা, θ=sin⁡−1x]\theta=\sin^{-1} x] নির্ণেয় যোজিত ফল x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+14x1−x2+c\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}+c

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x4−23x3−2x2+2xf(x)=\mathrm{x}^4-\frac{2}{3} \mathrm{x}^3-2 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x} ∴f(x)=x4−23x3−2x2+2x\therefore f(x)=x^4-\frac{2}{3} x^3-2 x^2+2 x f′(x)=4x3−2x2−4x+2;f^{\prime}(x)=4 x^3-2 x^2-4 x+2 ; g′′(x)=12x2−4x−4g^{\prime \prime}(x)=12 x^2-4 x-4 ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, f′(x)=0f^{\prime}(\mathbf{x})=0 বা, 4x3−2x2−4x+2=04 x^3-2 x^2-4 x+2=0 বা, 2x3−x2−2x+1=02 x^3-x^2-2 x+1=0 বা, x2(2x−1)−1(2x−1)=0x^2(2 x-1)-1(2 x-1)=0 বা, (2x−1)(x2−1)=0(2 x-1)\left(x^2-1\right)=0 ∴x=−1,12,1\therefore \quad x=-1, \frac{1}{2}, 1 কিন্তু x=−1x=-1 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ −1∉(−1,2)-1 \notin(-1,2) x=12x=\frac{1}{2} হলে, f′′(x)=12×14−4×12−4=−3<0f^{\prime \prime}(x)=12 \times \frac{1}{4}-4 \times \frac{1}{2}-4=-3<0 ∴x=12\therefore x=\frac{1}{2} এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে। আবার, x=1x=1 হলে, f′′(x)=12−4−4=4>0f^{\prime \prime}(x)=12-4-4=4>0 ∴x=1\therefore x=1 এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বনিম্ন হবে। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান =(12)4−23(12)3−2(12)2+2×12=\left(\frac{1}{2}\right)^4-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3-2\left(\frac{1}{2}\right)^2+2 \times \frac{1}{2} =116−112−12+1=2348=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1=\frac{23}{48} ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =1−23−2+2=13=1-\frac{2}{3}-2+2=\frac{1}{3} নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান 2348\frac{23}{48} এবং সর্বনিম্ন মান 13\frac{1}{3}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন