Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যোগজীকরণের সাহায্যে দৃশ্যকল্প-২ এবং x+y=5 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে, [গণিত] এবং x+y = 5 y = 5-x [গণিত] (ii) (i) ও (ii) হতে, [গণিত] আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

যোগজীকরণের সাহায্যে দৃশ্যকল্প-২ এবং x+y=5 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্র…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} দৃশ্যকল্প-২: 2x2+2y2=502 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2}=50

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

∫1a2+4x2dx\int \frac{1}{a^{2}+4 x^{2}} d x =14⋅1a2⋅tan⁡−1xa2+c= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{a}{2}} \cdot \tan^{-1} \frac{x}{\frac{a}{2}}+c =24atan⁡−12xa+c= \frac{2}{4 a} \tan^{-1} \frac{2 x}{a}+c =12atan⁡−12xa+c= \frac{1}{2 a} \tan^{-1} \frac{2 x}{a}+c

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f(π2−x)=sin⁡(π2−x)f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) =cos⁡x=\cos x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\{f(x)+2\}\{f(x)+1\}} d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(\sin x+2}(\sin x+2)(\sin x+1)} d x =∫0π21dz(z+1)z=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 \mathrm{dz}}{(\mathrm{z}+1) \mathrm{z}} Let, sin⁡X+1=z\sin \mathrm{X}+1=\mathrm{z} =>cos⁡x+0=dzdx=>\cos \mathrm{x}+0=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}} ∴cos⁡xdx=dz\therefore \cos x d x=d z x 0 π/2\pi/2 \end{if}]-->\end{if}]--> z 1 2 ধরি, 1z(z+1)≡Az+Bz+1\frac{1}{z(z+1)} \equiv \frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}
……(i)(i)\ldots\ldots(i) (i)
নং কে হরগুলোর ল.সা.গু দ্বারা গুণ করে, 1≡A(z+1)+B(z)1 \equiv \mathrm{A}(\mathrm{z}+1)+\mathrm{B}(\mathrm{z}).
……(ii)(ii)\ldots\ldots(ii) (ii)
নং z=0\mathrm{z}=0 বসিয়ে পাই, 1=A(0+1)1=\mathrm{A}(0+1) ∴A=1\therefore \mathrm{A}=1 (ii) নং z=−1\mathrm{z}=-1 বসিয়ে পাই, 1=B(−1)1 =\mathrm{B}(-1) ∴B=−1\therefore \quad \mathrm{B} =-1 A, B এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, 1z(z+1)≡1z+−1z+1\frac{1}{\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)} \equiv \frac{1}{\mathrm{z}}+\frac{-1}{\mathrm{z}+1} =1z−1z+1=\frac{1}{\mathrm{z}}-\frac{1}{\mathrm{z}+1} ∴∫12dzz(z+1)=∫12(1z−1z+1)dz\therefore \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)} =\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{\mathrm{z}}-\frac{1}{\mathrm{z}+1}\right) \mathrm{dz} =∫12dzz−∫12dzz+1=\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}}-\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}+1} =[ln⁡z]12−[ln⁡(z+1)]12=[\ln \mathrm{z}]_{1}^{2}-[\ln (\mathrm{z}+1)]_{1}^{2} =(ln⁡2−ln⁡1)−(ln⁡3−ln⁡2)=(\ln 2-\ln 1)-(\ln 3-\ln 2) =ln⁡2−ln⁡3+ln⁡2=\ln 2-\ln 3+\ln 2 =2ln⁡2−ln⁡3=2 \ln 2-\ln 3 =ln⁡4−ln⁡3=\ln 4-\ln 3 =ln⁡43=\ln \frac{4}{3} Ans.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, 2x2+2y2=502 x^{2}+2 y^{2}=50 =x2+y2=25……..(i)= x^{2}+y^{2}=25 \ldots \ldots . .(i) =y=25−x2= y=\sqrt{25-x^{2}} এবং x+y = 5 y = 5-x
……………(ii)(i)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(ii) (i)
ও (ii) হতে, x2+(5−x)2=25x^{2}+(5-x)^{2}=25 ⇒x2+25−10x+x2=25\Rightarrow x^{2}+25-10 x+x^{2}=25 =2x2−10x=0= 2 x^{2}-10 x=0 ⇒x2−5x=0\Rightarrow x^{2}-5 x=0 ⇒x(x−5)=0\Rightarrow x(x-5)=0 ∴x=0,5\therefore x=0,5 ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল =∫05(y1−y2)dx=\int_{0}^{5}\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right) \mathrm{dx} =∫05{25−x2−(5−x)}dx=\int_{0}^{5}\left\{\sqrt{25-x^{2}}-(5-x)\right\} d x =∫0525−x2dx−5∫05dx+5∫05xdx=\int_{0}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x-5 \int_{0}^{5} d x+5 \int_{0}^{5} x d x =∫05(5)2−x2−5[x]05+12[x2]05=\int_{0}^{5} \sqrt{(5)^{2}-x^{2}}-5[x]_{0}^{5}+\frac{1}{2}\left[x^{2}\right]_{0}^{5} =[x(5)2−x22+522sin⁡−1x5]05−5(5−0)+12(52−02)=\left[\frac{x \sqrt{(5)^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{5^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_{0}^{5}-5(5-0)+\frac{1}{2}\left(5^{2}-0^{2}\right) =252×π2−25+252=\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2}-25+\frac{25}{2} =25π4+−50+252=\frac{25 \pi}{4}+\frac{-50+25}{2} =25π4−252=\frac{25 \pi}{4}-\frac{25}{2} ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল 25π4−252\frac{25 \pi}{4}-\frac{25}{2} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন