Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (ii) এ g(x,y) = 25 বক্তরেখা এবং x = 3 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্র অংশের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] কিন্তু ১ম চতুর্ভাগে [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] PQSP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (ii) এ g(x,y) = 25 বক্তরেখা এবং x = 3 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ …

উদ্দীপক

(i) f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x (ii) g(x,y)=x2+y2g(x, y)=x^{2}+y^{2}

ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ · 2024

উত্তর

এখানে, ∫xtan⁡−1xdx\int x \tan^{-1} x d x =tan⁡−1x∫xdx−∫{ddx(tan⁡−1x)∫xdx}dx=\tan^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =12x2tan⁡−1x−12∫x21+x2dx=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x =12x2tan⁡−1x−12∫(1+x2−11+x2)dx=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int\left(\frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\right) d x =12x2tan⁡−1x−12∫dx+12∫dx1+x2=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{1+x^{2}} =12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x+c=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c ∴∫13xtan⁡−1xdx\therefore \int_{1}^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x =[12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x]13=\left[\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x\right]_{1}^{3} ={12(3)2tan⁡−13−12⋅3+12tan⁡−13}=\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3})^{2} \tan^{-1} \sqrt{3}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2} \tan^{-1} \sqrt{3}\right\} =(32⋅π3−32+12⋅π3)−(12⋅π4−12+12⋅π4)=\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right) =(2π3−32)−(π4−12)=\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right) =5π12−32+12=112(5π−63+6)( Ans.) =\frac{5 \pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6)(\text{ Ans.) }

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cot⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cot \mathrm{x} এখন, ∫1dx1+f(π2−x)=∫dx1+cot⁡(π2−x)\int \frac{1 d x}{1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\int \frac{d x}{1+\cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} ∫11+tan⁡xdx=∫11+sin⁡xcos⁡xdx\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x =∫cos⁡xdxcos⁡x+sin⁡x=12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=\int \frac{\cos x d x}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x =12∫1dx+12∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int 1 d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x ধরি; z=cos⁡x+sin⁡xz=\cos x+\sin x ∴dz=(cos⁡x−sin⁡x)dx\therefore \mathrm{dz}=(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}) \mathrm{dx} ∴∫11+tan⁡x=x2+12∫dzz=x2+12ln⁡∣z∣+c\therefore \int \frac{1}{1+\tan x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{d z}{z}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \ln |z|+c =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c(Ans.)=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c(Ans.)

উত্তর

question image দেওয়া আছে, L=x−3=0\mathrm{L}=\mathrm{x}-3=0 এবং Q(x,y)=x2+y2−25=0Q(x, y)=x^{2}+y^{2}-25=0 বা, y2=25−x2\mathrm{y}^{2}=25-\mathrm{x}^{2} ∴y=±25−x2\therefore \mathrm{y}= \pm \sqrt{25-\mathrm{x}^{2}} কিন্তু ১ম চতুর্ভাগে y>0\mathrm{y}>0 অর্থাৎ y=25−x2\mathrm{y}=\sqrt{25-\mathrm{x}^{2}} ∴\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =PQRS=\mathrm{PQRS} ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2×=2 \times PQSP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2∫35ydx=2∫3525−x2dx=2∫3552−x2dx=2 \int_{3}^{5} y d x=2 \int_{3}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x=2 \int_{3}^{5} \sqrt{5^{2}-x^{2}} d x =2[x25−x22+252sin⁡−1x5]35=2\left[\frac{x \sqrt{25-x^{2}}}{2}+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_{3}^{5} [∵∫a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]\quad\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =2[{0+252sin⁡−1(1)}−{6+252sin⁡−135}]=2\left[\left\{0+\frac{25}{2} \sin^{-1}(1)\right\}-\left\{6+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right\}\right] =25sin⁡−1(sin⁡π2)−12−25sin⁡−135=25 \sin^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{2}\right)-12-25 \sin^{-1} \frac{3}{5} =(25π2−25sin⁡−135−12)=\left(\frac{25 \pi}{2}-25 \sin^{-1} \frac{3}{5}-12\right) বর্গ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন