Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ তে বর্ণিত সঞ্চারপথ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল [গণিত] বক্ররেখা, x অক্ষ এবং, [গণিত] ও [গণিত] কোটিদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ তে বর্ণিত সঞ্চারপথ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=\frac{1}{(x-1}\left(x^2+4\right)} দৃশ্যকল্প-২: x=5cos⁡θ,y=3sin⁡θx=5 \cos \theta, y=3 \sin \theta একটি উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ।

আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

∫11+sin⁡xdx\int \frac{1}{1+\sin x} d x =\int \frac{1-\sin x}{(1+\sin x}(1-\sin x)} d x [উপরে-নিচে (1-sinx) নিয়ে পাই] =∫1−sin⁡x1−sin⁡2xdx=\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} d x =∫1−sin⁡xcos⁡2xdx[sin⁡2x+cos⁡2x=1]=\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} d x\left[\sin^2 x+\cos^2 x=1\right] =∫(1cos⁡2x−sin⁡xcos⁡x⋅1cos⁡x)dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) d x =\int \sec^2 x d x-\int \tan x \sec x d x\left[\[\begin{array}{l}\frac{1}{\cos x}=\sec x \\ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\end{array}\]\right] =tan⁡x−sec⁡x+c=\tan x-\sec x+c Ans.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=\frac{1}{(x-1}\left(x^{2}+4\right)} ∴∫x(x)dx\therefore \quad \int x(x) d x =\int x \cdot \frac{1}{(x-1}\left(x^2+4\right)} d x = \int \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+4\right)} d x ধরি, \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+4\right)} \equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+4} \ldots (i) উভয়পক্ষে (x−1)(x2+4)(x-1)\left(x^{2}+4\right) দ্বারা গুণ করে পাই, \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+4\right)}\left\{(x-1)\left(x^{2}+4\right)\right\}= \frac{A}{(x-1)}\left\{(x-1)\left(x^{2}+4\right)\right\}+ \frac{B x+c}{x^{2}+4}\left\{(x-1)\left(x^{2}+4\right)\right\} ⇒x=A(x2+4)+(x+C)(x−1)\Rightarrow x=A\left(x^{2}+4\right)+(x+C)(x-1) ⇒x=Ax2+4A+Bx2+Cx−Bx−C\Rightarrow x=A x^{2}+4 A+B x^{2}+C x-B x-C ⇒x=Ax2+Bx2+4A−Bx−Cx−C\Rightarrow x=A x^{2}+B x^{2}+4 A-B x-C x-C এখন, দেখতে হবে x এর মান কত বসালে 1টি মান বাদ। ধরি, x=1x=1 x=A⋅(1+4)+(B+C)(1−1)x=A \cdot(1+4)+(B+C)(1-1) ∴A=15\therefore A=\frac{1}{5} x=x2(A+B)+x(B−C)+(4A−C)x =x^{2}(A+B)+x(B-C)+(4 A-C) ⇒x2⋅0+x⋅1+0=x2(A+B)+x(−B−C)+(4A−C)\Rightarrow x^{2} \cdot 0+x \cdot 1+0=x^{2}(A+B)+x(-B-C)+(4 A-C) x2x^{2} এর সহগ আলাদা করে পাই, 0=A+B⇒0=15+B0=A+B \Rightarrow 0 =\frac{1}{5}+B ∴B=−15\therefore B =-\frac{1}{5} ধ্রুবক পদ আলাদা করে পাই, 0=4A−C\quad 0=4 A-C ⇒C=4A=4×15=45\Rightarrow C=4 A=4 \times \frac{1}{5}=\frac{4}{5} ∴A=15,B=−15,C=45\therefore A=\frac{1}{5}, B=\frac{-1}{5}, C=\frac{4}{5} (i) নং সমীকরণ হতে পাই, \frac{x}{(x-1}\left(x^2+4\right)} =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B x+C}{\left(x^2+4\right)} =15(x−1)+(−15x+45x2+4)=\frac{\frac{1}{5}}{(x-1)}+\left(\frac{-\frac{1}{5} x+\frac{4}{5}}{x^2+4}\right) =15(x−1)+4−x5(x2+4)=\frac{1}{5(x-1)}+\frac{4-x}{5\left(x^2+4\right)} =15{1x−1+4−x(x2+4)}=\frac{1}{5}\left\{\frac{1}{x-1}+\frac{4-x}{\left(x^2+4\right)}\right\} যোগজীকরণ চিহ্ন নিয়ে পাই, \int \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+4\right)} d x=\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{1}{5} \int \frac{4-x}{x^{2}+4} d x =15∫1x−1dx+15∫4x2+4dx−15=\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{1}{5} \int \frac{4}{x^{2}+4} d x-\frac{1}{5} ∫xx2+4dx\int \frac{x}{x^{2}+4} d x =15∫1x−1dx+45∫1x2+4dx−15∫xx2+4dx=\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{4}{5} \int \frac{1}{x^{2}+4} d x-\frac{1}{5} \int \frac{x}{x^{2}+4} d x =15∫1x−1dx+45∫1x2+22dx−15⋅2∫2xx2+4dx=\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{4}{5} \int \frac{1}{x^{2}+2^{2}} d x-\frac{1}{5 \cdot 2} \int \frac{2 x}{x^{2}+4} d x =15ln⁡∣x−1∣+45⋅tan⁡−1x2⋅12−110⋅ln⁡∣x2+4∣+c=\frac{1}{5} \ln |x-1|+\frac{4}{5} \cdot \tan^{-1} \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{10} \cdot \ln \left|x^{2}+4\right|+c Ans.

উত্তর

দেওয়া আছে, x=5cos⁡θx=5 \cos \theta 3x=15cos⁡θ…(i)3 x=15 \cos \theta \ldots (i) y=3sin⁡θy=3 \sin \theta 5y=15sin⁡θ….(ii)5 y=15 \sin \theta \ldots. (ii) (i2+ii2)⇒9x2+25y2=152(sin⁡2θ+cos⁡2θ)\left(i^{2}+i i^{2}\right) \Rightarrow 9 x^{2}+25 y^{2}=15^{2}\left(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\right) ⇒9x2+25y2=225.\Rightarrow 9 x^{2}+25 y^{2}=225 . ⇒y2=925(25−x2)\Rightarrow y^2=\frac{9}{25}\left(25-x^2\right) ⇒y=±3525−x2\Rightarrow y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{25-x^{2}} question image ∴\therefore ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল ⇒y=3525−x2\Rightarrow y=\frac{3}{5} \sqrt{25-x^2} বক্ররেখা, x অক্ষ এবং, x=0x=0 ও x=5x=5 কোটিদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫053525−x2dx=\int_{0}^{5} \frac{3}{5} \sqrt{25-x^{2}} d x =35∫0552−x2dx=\frac{3}{5} \int_{0}^{5} \sqrt{5^{2}-x^{2}} d x =35[x52−x22+522sin⁡−1x5]05=\frac{3}{5}\left[\frac{x \sqrt{5^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{5^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_{0}^{5} =35{552−522+522sin⁡−155−522sin⁡−105}=\frac{3}{5}\left\{\frac{5 \sqrt{5^{2}-5^{2}}}{2}+\frac{5^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{5}{5}-\frac{5^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{0}{5}\right\} =35(0+252×π2−0)=\frac{3}{5}\left(0+\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2}-0\right) =15π4=\frac{15 \pi}{4} ∴\therefore প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল =4×cos⁡9OAB=4 \times \cos 9 \quad O A B =4×15π4=4 \times \frac{15 \pi}{4} =15π=15 \pi বর্গ একক
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন