Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (1) বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] এরং ব্যাসার্ধ, [গণিত] -অক্ষের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তটি [গণিত] অক্ষকে [গণিত] ও B বিন্দুতে ছেদ করে। (1) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] (1) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] -অক্ষের নিচে [গণিত] ঋণাত্মক অর্থাৎ [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] (1) নং বৃত্ত এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল, [গণিত] নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এবং অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উদ্দীপক

f(x,y)=x2+y2+6x−2y−15f(x, y)=x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15 g(x)=cos⁡xsin⁡3xg(x)=\sqrt{\cos x} \sin^{3} x

চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃকলেজ · 2025

উত্তর

∫cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} d x =12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x =12∫dx+12∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c[∵∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+c]=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c\left[\because \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\ln |f(x)|+c\right] নির্ণেয় যোজিত ফল =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xsin⁡3xg(x)=\sqrt{\cos x} \sin^{3} x ∴∫0π2g(x)dx=∫0π2cos⁡xsin⁡3xdx\therefore \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^{3} x d x =∫0π2cos⁡xsin⁡2xsin⁡xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^{2} x \sin x d x π2\frac{\pi}{2} =∫0cos⁡x(1−cos⁡2x)sin⁡xdx=\int_{0} \sqrt{\cos x}\left(1-\cos^{2} x\right) \sin x d x ধরি, cos⁡x=y\cos x=y বা, −sin⁡xdx=dy-\sin x d x=d y question image =∫10−y(y−y2)dy=\int_{1}^{0}-\sqrt{y}\left(y-y^{2}\right) d y =∫01(y12−y12+2)dy=\int_{0}^{1}\left(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}+2}\right) d y =∫01(y12−y52)dy=\int_{0}^{1}\left(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{5}{2}}\right) d y =[y12+112+1]01−[y52+152+1]01=[3232]01−[7272]01=\left[\frac{y^{\frac{1}{2}}+1}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{y^{\frac{5}{2}}+1}{\frac{5}{2}+1}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} =[23y32]01−[27y72]01=23−0−27+0=14−621=821=\left[\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}-0-\frac{2}{7}+0=\frac{14-6}{21}=\frac{8}{21} নির্ণেয় মান : 821\frac{8}{21}.

উত্তর

question image দেওয়া আছে, f(x,y)=x2+y2+6x−2y−15f(x, y)=x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15 আবার, f(x,y)=0f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 বা, x2+y2+6x−2y−15=0x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15=0 বা, x2+6x+9+y2−2y+1=25x^{2}+6 x+9+y^{2}-2 y+1=25 বা, (x+3)2+(y−1)2=52(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2} …….(1)\ldots\ldots. (1) বৃত্তটির কেন্দ্র (−3,1)(-3,1) এরং ব্যাসার্ধ, r=5r=5 xx-অক্ষের সমীকরণ, y=0y=0 বৃত্তটি xx অক্ষকে AA ও B বিন্দুতে ছেদ করে। (1) নং সমীকরণে y=0y=0 বসিয়ে পাই, (x+3)2+1=25(x+3)^{2}+1=25 বা, (x+3)2=24(x+3)^{2}=24 বা, x+3=±26x+3= \pm 2 \sqrt{6} ∴x=−3±26\therefore x=-3 \pm 2 \sqrt{6} ∴A(−3+26,0)\therefore \mathrm{A}(-3+2 \sqrt{6}, 0) এবং B(−3−26,0)\mathrm{B}(-3-2 \sqrt{6}, 0) (1) নং হতে পাই, (y−1)2=52−(x+3)2(y-1)^{2}=5^{2}-(x+3)^{2} বা, y−1=±52−(x+3)2y-1= \pm \sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} বা, y=1±52−(x+3)2y=1 \pm \sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} xx-অক্ষের নিচে yy ঋণাত্মক অর্থাৎ y=1−52−(x+3)2y=1-\sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} ধরি, y=0=y1y=0=y_{1} এবং y=1−52−(x+3)2=y2y=1-\sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}}=y_{2} ∴\therefore (1) নং বৃত্ত এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল, ∫−3−26−3+26(y1−y2)dx\int_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left(y_1-y_2\right) d x =∫−26−3+26[0−(1−52−(x+3)2]dx=\int_{-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left[0-\left(1-\sqrt{5^2-(x+3)^2}\right] d x\right. =∫−3−26−3+26[−1+52−(x+3)2]d(x+3)=\int_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left[-1+\sqrt{5^2-(x+3)^2}\right] d(x+3) =−[x+3]−3−26−3+26+[(x+3)52−(x+3)22+522sin⁡−1x+35]−3−26−3+26=-[x+3]_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}+\left[\frac{(x+3) \sqrt{5^2-(x+3)^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{x+3}{5}\right]_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}} [∵a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]\quad \left[\because \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =−[−3+26+3+26]+[6+252sin⁡−1265+6−252sin⁡−1(−265)]\begin{aligned} & =-[-3+2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{6}]+ {\left[\sqrt{6}+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2} \sin^{-1}\left(\frac{-2 \sqrt{6}}{5}\right)\right]}\end{aligned} =−46+[26+3+26]+252sin⁡−1265+6−252sin⁡−1(265+252sin⁡265]=-4 \sqrt{6}+[2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{6}]+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}+\frac{25}{2} \sin^{\frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right] =−46+26+25sin⁡−1265=-4 \sqrt{6}+2 \sqrt{6}+25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5} =25sin⁡−1265−26=25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}-2 \sqrt{6} নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল (25sin⁡−1265−26)\left(25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}-2 \sqrt{6}\right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন