Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, [গণিত] কাজেই উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক [গণিত] ও [গণিত] । [চিত্র] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = OABCO ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বা, [গণিত] -অক্ষের উপরে y ধনাত্মক, কাজেই [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ gg : g(x)=xg(x)=x দৃশ্যকল্প-২ y2=64xy^2=64 x একটি পরাবৃত্ত।

সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ, যশোর · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =ddx{ln⁡1−cos⁡x1+cos⁡x}=\frac{d}{d x}\left\{\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right\} =ddx{ln⁡2sin⁡2x22cos⁡2x2}=ddx{ln⁡tan⁡2x2}=ddxln⁡(tan⁡x2)=\frac{d}{d x}\left\{\ln \sqrt{\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}}\right\}=\frac{d}{d x}\left\{\ln \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}}\right\}=\frac{d}{d x} \ln \left(\tan \frac{x}{2}\right) =1tan⁡x2ddx(tan⁡x2)=1tan⁡x2⋅sec⁡2x2⋅12=cos⁡x22sin⁡x2⋅1cos⁡2x2=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \frac{d}{d x}\left(\tan \frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} =12sin⁡x2⋅cos⁡x2=1sin⁡x=cosec⁡⁡x=\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}=\operatorname{\cosec} x ∴ddx{ln⁡1−cos⁡x1+cos⁡x}=cosec⁡⁡x\therefore \frac{d}{d x}\left\{\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right\}=\operatorname{\cosec} x

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=xg(x)=x ∴g(x2)=x2\therefore \quad g\left(x^2\right)=x^2 প্রদত্ত রাশি =\int \frac{g\left(x^2\right)}{g(x}\{g(x)-1\}\left\{g\left(x^2\right)-1\right\}} d x =\int \frac{x^2 d x}{x(x-1}\left(x^2-1\right)}=\int \frac{x^2 d x}{x(x-1}(x+1)(x-1)}=\int \frac{x d x}{(x-1}^2(x+1)} ধরি, \frac{x}{(x-1}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1}^2}+\frac{C}{x+1}
….(1)(1)\ldots. (1) (1)
নং এর উভয়পক্ষকে (x−1)2(x+1)(x-1)^2(x+1) দ্বারা গুণ করে পাই, x=A(x−1)(x+1)+B(x+1)+C(x−1)2x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2
….(2)(2)\ldots. (2) (2)
নং সমীকরণে x=1x=1 বসিয়ে পাই, 1=0+2B+01 =0+2 B+0 ∴B=12\therefore B =\frac{1}{2} (ii) নং সমীকরণে x=−1x=-1 বসিয়ে পাই, −1=0+0+4C-1=0+0+4 C ∴C=−14\therefore C=-\frac{1}{4} আবার, (ii)নং সমীকরণে, x=0x=0 বসিয়ে পাই, 0=A(−1)(1)+B(1)+C(−1)20=A(-1)(1)+B(1)+C(-1)^2 বা, 0=−A+B+C0=-A+B+C বা, A=B+C=12−14=2−14=14A=B+C=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4} এখন, A, B, C এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, \frac{x}{(x-1}^2(x+1)} =\frac{\frac{1}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{(x-1)^2}+\frac{\left(-\frac{1}{4}\right)}{x+1} \therefore \int \frac{x d x}{(x-1}^2(x+1)} =\int\left(\frac{\frac{1}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{(x-1)^2}-\frac{\frac{1}{4}}{x+1}\right) d x =\frac{1}{4} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-1}^2} d x-\frac{1}{4} \int \frac{1}{x+1} d x =14ln⁡∣x−1∣−12(x−1)−14ln⁡∣x+1∣+c=\frac{1}{4} \ln |x-1|-\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{4} \ln |x+1|+c =14ln⁡∣x−1∣−12(x−1)−14ln⁡∣x+1∣+c=\frac{1}{4} \ln |x-1|-\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{4} \ln |x+1|+c

উত্তর

দেওয়া আছে, y2=64xy^2=64 x =4.16.x=4.16 . x পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x=16\mathrm{x}=16 কাজেই উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (16,32)(16,32) ও (16,−32)(16,-32)। question image নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = OABCO ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ∴\therefore আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2×AOB=2 \times \mathrm{AOB} ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y2=64xy^2=64 x বা, y=±8xy= \pm 8 \sqrt{x} xx-অক্ষের উপরে y ধনাত্মক, কাজেই y=8xy=8 \sqrt{x} =2∫016ydx=2 \int_0^{16} y d x =2∫0168xdx=2 \int_0^{16} 8 \sqrt{x} d x =16∫016xdx=16 \int_0^{16} \sqrt{x} d x =16[x3332]016=16\left[\frac{x^{\frac{3}{3}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^{16} =16{(16)3232−0}=16×23×64=20483=16\left\{\frac{(16)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-0\right\}=16 \times \frac{2}{3} \times 64=\frac{2048}{3} নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =20483=\frac{2048}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন