Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

y = 4g(x) ও y = 2x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] [চিত্র] (1) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে (2)নং হতে পাই, [গণিত] হলে (2)নং হতে পাই, [গণিত] (1)নং পরাবৃত্ত ও (2)নং রেখা পরস্পর [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [গণিত] (1)নং ও (2)নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

y = 4g(x) ও y = 2x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=2x+1(x2+4)(x−1)\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)} এবং g(x)=x2\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2} দুটি ফাংশন।

ঝালকাঠি সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

প্রশ্নমতে, ∫ln⁡(1+x)dx\int \ln (1+x) d x ⇒∫1ln⁡(1+x)a[∫uvdx=u∫vdx−∫vdxdx]\Rightarrow \int 1 \ln (1+\mathrm{x}) \quad \mathrm{a}\left[\int \mathrm{uvd} \mathrm{x}=\mathrm{u} \int \mathrm{vdx}-\int \mathrm{vdx} d \mathrm{x}\right] ⇒ln⁡(1+x)∫1dx−∫ddxln⁡(1+x)∫1dxdx\Rightarrow \ln (1+\mathrm{x}) \int 1 \mathrm{dx}-\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \ln (1+\mathrm{x}) \int 1 \mathrm{dx} \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−∫(x1+x×x)dx\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\int\left(\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}} \times \mathrm{x}\right) \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−∫(1−11+x)dx\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\int\left(1-\frac{1}{1+\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−(x−ln⁡(1+x)+c\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-(\mathrm{x}-\ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{c} पापএকाদী যোগত্রীয়ন ধ্রুতব )) ⇒xln⁡(1+x)−x+ln⁡(1+x)+c\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\mathrm{x}+\ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{c}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x+1(x2+4)(x−1)\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}+1}{\left(\mathrm{x}^{2}+4\right)(\mathrm{x}-1)} ধরি, 2x+1(x2+4)(x−1)≡Ax+B(x2+4)+C(x−1)\frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)} \equiv \frac{A x+B}{\left(x^{2}+4\right)}+\frac{C}{(x-1)}. ⇒(2x+1)=(Ax+B)(x−1)+⋯C×(x2+4)\Rightarrow(2 x+1)=(A x+B)(x-1)+\cdots C \times\left(x^{2}+4\right) (ii) নং এx=1এ x=1 বসিয়ে, 2+1=0+c(1+4)Rightarrow3=5cRightarrowC=35\begin{aligned}2+1 & =0+c(1+4) \\Rightarrow 3 & =5 c \\Rightarrow C & =\frac{3}{5}\end{aligned} এখন (ii) নং থেকে, 2x+1=Ax−Ax+Bx−B+Cx2+4C2x+1=x2(A+C)+x(B−A)+4C−B\begin{aligned}& 2 x+1=A x-A x+B x-B+C x^{2}+4 C \\& 2 x+1=x^{2}(A+C)+x(B-A)+4 C-B\end{aligned} উভয় পক্ষ্যে সহগ সমীকৃত করে পাই, B−A=2B-A=2 A+C=0A+C=0 4C−B=14 C-B=1 A+C=0A+C=0 ⇒A=−C=−35∴A=−3/5\Rightarrow A=-C=-\frac{3}{5} \quad \therefore A=-3 / 5 এবং, B−A=2B-A=2 ⇒B=2+A\Rightarrow B=2+A =2−35=2-\frac{3}{5} =75=\frac{7}{5} A,B,C এড় মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, ∴2x+1(x2+4)(9x−1)=(−35x+75)(x2+4)+−35(x−1)\therefore \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(9 x-1)}=\frac{\left(\frac{-3}{5} x+\frac{7}{5}\right)}{\left(x^{2}+4\right)}+\frac{\frac{-3}{5}}{(x-1)} =−15[(3x−7)22+4+3x−1]=-\frac{1}{5}\left[\frac{(3 x-7)}{2^{2}+4}+\frac{3}{x-1}\right] ∴2x+1(x2+4)(x−1)=−15[∫3x−7x2+4dx+3in⁡(x−1)]\therefore \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)}=\frac{-1}{5}\left[\int \frac{3 x-7}{x^{2}+4} d x+3 \operatorname{in}(x-1)\right] =−15∫(3xx2+4−7x2+4)dx+3ln⁡(x−1)=\frac{-1}{5} \int\left(\frac{3 x}{x^{2}+4}-\frac{7}{x^{2}+4}\right) d x+3 \ln (x-1) =−15[32∫2xx2+4dx−2×74∫1/21+(x2)2dx]+3ln⁡(x−1)=-\frac{1}{5}\left[\frac{3}{2} \int \frac{2 x}{x^{2}+4} d x-\frac{2 \times 7}{4} \int \frac{1 / 2}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} d x\right]+3 \ln (x-1) =−15[32ln⁡(x2+4)−72tan⁡−1(x2)]+3ln⁡(x−1)]+c\left.=\frac{-1}{5}\left[\frac{3}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)-\frac{7}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]+3 \ln (x-1)\right]+c [बেখানে c\mathrm{c} একত্রী যেগাত্রীকরণ ধ্রুবক ]] =−310ln⁡(x2+4)+710tan⁡−1(x2)+35ln⁡(x−1)+c=\frac{-3}{10} \ln \left(x^{2}+4\right)+\frac{7}{10} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{5} \ln (x-1)+c ans.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2g(x)=x^2 এবং y=4g(x)y=4 g(x) ∴y=4x2………(i)\therefore \mathrm{y}=4 \mathrm{x}^2 \ldots\ldots\ldots (i) এবং y=2x……………...(ii)\mathrm{y}=2 \mathrm{x} \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii) question image (1) নং সমীকরণে y=2xy=2 x বসিয়ে পাই, 2x=4x22 x=4 x^2 বা, 2x2−x=02 x^2-x=0 বা, x(2x−1)=0x(2 x-1)=0 ∴x=0,x=12\therefore \quad \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=\frac{1}{2} x=0\mathrm{x}=0 হলে (2)নং হতে পাই, y=0\mathrm{y}=0 x=12\mathrm{x}=\frac{1}{2} হলে (2)নং হতে পাই, y=1\mathrm{y}=1 ∴\therefore \quad (1)নং পরাবৃত্ত ও (2)নং রেখা পরস্পর O(0,0)\mathrm{O}(0,0) এবং B(12,1)\mathrm{B}\left(\frac{1}{2}, 1\right) বিন্দুতে ছেদ করে। ∴\therefore (1)নং ও (2)নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫012(y1−y2)dx=∫012(2x−4x2)dx=2∫012xdx−4∫012x2dx=2[x22]0112−4[x33]012=22(122−0)−43(123−0)=14−43⋅18=14−16=3−212=112 বর্গ একক \begin{aligned}& =\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right) \mathrm{dx}=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(2 \mathrm{x}-4 \mathrm{x}^2\right) \mathrm{dx} \\ & =2 \int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{xdx}-4 \int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{x}^2 \mathrm{dx} \\ & =2\left[\frac{\mathrm{x}^2}{2}\right]_0^1 \frac{1}{2}-4\left[\frac{\mathrm{x}^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{2^2}-0\right)-\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2^3}-0\right) \\ & =\frac{1}{4}-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12} \text{ বর্গ একক }\end{aligned} নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 112\frac{1}{12} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন