Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(ii) এর বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] . (i) বা, [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ = 4 একক (i)নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু [গণিত] -অক্ষের উপরের অংশে [গণিত] ধনাত্মক অর্থাৎ [গণিত] ধরি, [গণিত] হলে, [গণিত] এবং [গণিত] হলে [গণিত] বৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

(ii) এর বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

(i) f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}, (ii) x2+y2=16x^2+y^2=16 একটি বৃত্তের সমীকরণ।

সিলেট সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

∫x2sin⁡xdx\int x^2 \sin x d x =x2∫sin⁡xdx−∫{ddx(x2)⋅∫sin⁡xdx}dx=x^2 \int \sin x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(x^2\right) \cdot \int \sin x d x\right\} d x =−x2cos⁡x+2∫x⋅cos⁡xdx=-x^2 \cos x+2 \int x \cdot \cos x d x =−x2cos⁡x+2[x∫cos⁡xdx−=-x^2 \cos x+2\left[x \int \cos x d x-\right. ∫{ddx(x)⋅∫cos⁡xdx}dx]\left.\int\left\{\frac{d}{d x}(x) \cdot \int \cos x d x\right\} d x\right] =−x2cos⁡x+2⋅xsin⁡x−2sin⁡x+c=-x^2 \cos x+2 \cdot x \sin x-2 \sin x+c

উত্তর

ধরি, x=3sin⁡θx=3 \sin \theta ∴dx=3cos⁡θdθ\therefore d x=3 \cos \theta d \theta সীমা : question image দেওয়া আছে, f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2} প্রদত্ত রাশি =∫03f(x)dx=\int_0^3 f(x) d x =∫039−x2dx=\int_0^3 \sqrt{9-x^2} d x =∫0π29−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θ⋅dθ=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9-(3 \sin \theta)^2} \cdot 3 \cos \theta \cdot d \theta =∫0π29−9sin⁡2θ⋅3cos⁡θdθ=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9-9 \sin^2 \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta =∫0π29(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θ⋅dθ=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9\left(1-\sin^2 \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta \cdot d \theta =∫0π23cos⁡2θ⋅3cos⁡θ⋅dθ=9∫0π2cos⁡2θdθ=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot 3 \cos \theta \cdot d \theta=9 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta =92∫0π22cos⁡2θdθ=92∫0π2(1+cos⁡2θ)dθ=\frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta=\frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta =92[θ+sin⁡2θ2]0π2=92[π2+12sin⁡(2⋅π2)]−92×0=\frac{9}{2}\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{9}{2}\left[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right]-\frac{9}{2} \times 0 =92(π2+12×0)=92×π2=9π4=\frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \times 0\right)=\frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{9 \pi}{4} নির্ণেয় মান =9π4=\frac{9 \pi}{4}.

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=16x^2+y^2=16 …….(i)\ldots\ldots. (i) বা, x2+y2=42x^2+y^2=4^2 বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ = 4 একক (i)নং হতে পাই, x2+y2=16x^2+y^2=16 বা, y2=16−x2y^2=16-x^2 ∴y=±16−x2\therefore y= \pm \sqrt{16-x^2} যেহেতু xx-অক্ষের উপরের অংশে yy ধনাত্মক অর্থাৎ y=16−x2y=\sqrt{16-x^2} ধরি, x=4sin⁡θx=4 \sin \theta ∴dx=4cos⁡θ dθ\therefore \mathrm{dx}=4 \cos \theta \mathrm{~d} \theta x=0x=0 হলে, θ=0\theta=0 এবং x=4x=4 হলে θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} বৃত্তের ক্ষেত্রফল =4×AOB=4 \times \mathrm{AOB} অংশের ক্ষেত্রফল =4∫04ydx=4∫0416−x2dx=4 \int_0^4 y d x=4 \int_0^4 \sqrt{16-x^2} d x =4∫0π216−(4sin⁡θ)2⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-(4 \sin \theta)^2} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π216−16sin⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π216(1−sin⁡2θ)4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16\left(1-\sin^2 \theta\right)} 4 \cos \theta d \theta =4∫0π24⋅1−sin⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cdot \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π24⋅cos⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=32∫0π22cos⁡2θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cdot \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta=32 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta =32∫0π2(1+cos⁡2θ)dθ=32[θ+sin⁡2θ2]0π2=32 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta=32\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =32[π2+12sin⁡(2⋅π2)]−32(0+0)=32\left[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right]-32(0+0) =32(π2+0)−0=32×π2=16π=32\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-0=32 \times \frac{\pi}{2}=16 \pi নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 16π16 \pi বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti